極坐標和股票

Ⅰ 高中數學 極坐標與參數方程

其實就是求線段MN的長度。
顯然，當M、N重合時，|MN|=0，當MN與x軸平行時，|MN|max=2。
很直觀，曲線C2是個圓，它的所有弦里最長的是直徑。
所以，0≤|MN|≤2

Ⅱ 什麼是極坐標，與直角坐標有什麼區別

概念
在 平面內取一個定點O， 叫極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)。對於平面內任何一點M，用ρ表示線段OM的長度，θ表示從Ox到OM的角度，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數對 (ρ,θ)就叫點M的極坐標，這樣建立的坐標系叫做極坐標系。 第一個用極坐標來確定平面上點的位置的是牛頓。他的《流數法與無窮級數》，大約於1671年寫成，出版於1736年。此書包括解析幾何的許多應用，例如按方程描出曲線。書中創建之一，是引進新的坐標系。17甚至18世紀的人，一般只用一根坐標軸(x軸)，其y值是沿著與x軸成直角或斜角的方向畫出的。牛頓所引進的坐標之一，是用一個固定點和通過此點的一條直線作標准，例如我們現在的極坐標系。牛頓還引進了雙極坐標，其中每點的位置決定於它到兩個固定點的距離。由於牛頓的這個工作直到1736年才為人們所發現，而瑞士數學家J.貝努力利於1691年在《教師學報》上發表了一篇基本上是關於極坐標的文章，所以通常認為J.貝努利是極坐標的發現者。J.貝努利的學生J.赫爾曼在1729年不僅正式宣布了極坐標的普遍可用，而且自由地應用極坐標去研究曲線。他還給出了從直角坐標到極坐標的變換公式。確切地講，J.赫爾曼把 ,cos ,sin 當作變數來使用，而且用z，n和m來表示 ,cos 和 sin。歐拉擴充了極坐標的使用范圍，而且明確地使用三角函數的記號；歐拉那個時候的極坐標系實際上就是現代的極坐標系。 有些幾何軌跡問題如果用極坐標法處理，它的方程比用直角坐標法來得簡單，描圖也較方便。1694年，J.貝努利利用極坐標引進了雙紐線，這曲線在18世紀起了相當大的作用。
極坐標系
在極坐標中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。ρ=(x^2+y^2)^0.5 極坐標系是一個二維坐標系統。該坐標系統中的點由一個夾角和一段相對中心點——極點（相當於我們較為熟知的直角坐標系中的原點）的距離來表示。極坐標系的應用領域十分廣泛，包括數學、物理、工程、航海以及機器人領域。在兩點間的關系用夾角和距離很容易表示時，極坐標系便顯得尤為有用；而在平面直角坐標系中，這樣的關系就只能使用三角函數來表示。對於很多類型的曲線，極坐標方程是最簡單的表達形式，甚至對於某些曲線來說，只有極坐標方程能夠表示。
[編輯本段]歷史
主條目：三角函數的歷史
眾所周知，希臘人最早使用了角度和弧度的概念。天文學家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）製成了一張求各角所對弦的弦長函數的表格。並且，曾有人引用了他的極坐標系來確定恆星位置。在螺線方面，阿基米德描述了他的著名的螺線，一個半徑隨角度變化的方程。希臘人作出了貢獻，盡管最終並沒有建立整個坐標系統。 關於是誰首次將極坐標系應用為一個正式的坐標系統，流傳著有多種觀點。關於這一問題的較詳盡歷史，哈佛大學教授朱利安·盧瓦爾·科利奇的《極坐標系起源》[1][2]作了闡述。格雷瓜·德·聖-萬桑特 和博納文圖拉·卡瓦列里，被認為在幾乎同時、並獨立地各自引入了極坐標系這一概念。聖-萬桑特在1625年的私人文稿中進行了論述並發表於1647年，而卡瓦列里在1635進行了發表，而後又於年進行了更正。卡瓦列里首次利用極坐標系來解決一個關於阿基米德螺線內的面積問題。布萊士·帕斯卡隨後使用極坐標系來計算拋物線的長度。 在1671年寫成，1736年出版的《流數術和無窮級數》(en:Method of Fluxions)一書中，艾薩克·牛頓第一個將極坐標系應用於表示平面上的任何一點。牛頓在書中驗證了極坐標和其他九種坐標系的轉換關系。在1691年出版的《博學通報》（Acta eruditorum）一書中雅各布·伯努利正式使用定點和從定點引出的一條射線，定點稱為極點，射線稱為極軸。平面內任何一點的坐標都通過該點與定點的距離和與極軸的夾角來表示。伯努利通過極坐標系對曲線的曲率半徑進行了研究。 實際上應用「極坐標」en:Polar coordinate system這個術語的是由格雷古廖·豐塔納開始的，並且被18世紀的義大利數學家所使用。該術語是由喬治·皮科克在1816年翻譯拉克魯瓦克斯的《微分學與積分學》（Differential and Integral Calculus）[3][4][5] 一書時，被翻譯為英語的。 阿勒克西斯·謝羅特和萊昂哈德·歐拉被認為是將平面極坐標系擴展到三維空間的數學家。
在極坐標系中表示點
點(3,60°) 和 點(4,210°) 正如所有的二維坐標系，極坐標系也有兩個坐標軸：r(半徑坐標)和θ（角坐標、極角或方位角，有時也表示為φ或t）。r坐標表示與極點的距離，θ坐標表示按逆時針方向坐標距離0°射線（有時也稱作極軸）的角度，極軸就是在平面直角坐標系中的x軸正方向。[6] 比如，極坐標中的(3,60°)表示了一個距離極點3個單位長度、和極軸夾角為60°的點。(−3,240°) 和(3,60°)表示了同一點，因為該點的半徑為在夾角射線反向延長線上距離極點3個單位長度的地方(240° − 180° = 60°)。 極坐標系中一個重要的特性是，平面直角坐標中的任意一點，可以在極坐標系中有無限種表達形式。通常來說，點(r, θ)可以任意表示為(r, θ ± n×360°)或(−r, θ ± (2n + 1)180°)，這里n是任意整數。[7] 如果某一點的r坐標為0，那麼無論θ取何值，該點的位置都落在了極點上。
[編輯] 使用弧度單位
極坐標系中的角度通常表示為角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°.具體使用哪一種方式，基本都是由使用場合而定。航海(en:Navigation)方面經常使用角度來進行測量，而物理學的某些領域大量使用到了半徑和圓周的比來作運算，所以物理方面更傾向使用弧度。[8] [編輯] 在極坐標系與平面直角坐標系（笛卡爾坐標系）間轉換 極坐標系中的兩個坐標 r 和 θ 可以由下面的公式轉換為 直角坐標系下的坐標值 x = r*cos(θ), y = r*sin(θ), 由上述二公式，可得到從直角坐標系中x 和 y 兩坐標如何計算出極坐標下的坐標 r = \sqrt{x^2 + y^2} \, \theta = \arctan \frac\qquad x \ne 0 \, [9]在 x = 0的情況下：若 y 為正數 θ = 90° (π/2 radians); 若 y 為負, 則 θ = 270° (3π/2 radians).
[編輯] 極坐標方程
用極坐標系描述的曲線方程稱作極坐標方程，通常表示為r為自變數θ的函數。 極坐標方程經常會表現出不同的對稱形式，如果r(−θ) = r(θ)，則曲線關於極點(0°/180°)對稱，如果r(π+ θ) = r(θ)，則曲線關於極點(90°/270°)對稱，如果r(θ−α) = r(θ)，則曲線相當於從極點逆時針方向旋轉α°。[9]
[編輯] 圓
方程為r(θ) = 1的圓。 方程為r(θ) = 1的圓。 在極坐標系中，圓心在(r0, φ) 半徑為 a 的圓的方程為 r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2 該方程可簡化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如方程 r(\theta)=a \, 表示一個以極點為中心半徑為a的圓。[10]
直線
經過極點的射線由如下方程表示 \theta = \varphi \,, 其中φ為射線的傾斜角度，若 m為直角坐標系的射線的斜率，則有φ = arctan m。 任何不經過極點的直線都會與某條射線垂直。[11] 這些在點(r0, φ)處的直線與射線θ = φ 垂直，其方程為 r(\theta) = \sec(\theta-\varphi) \,.
玫瑰線
一條方程為 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰線. 一條方程為 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰線. 極坐標的玫瑰線(polar rose)是數學曲線中非常著名的曲線，看上去像花瓣，它只能用極坐標方程來描述，方程如下： r(\theta) = a \cos k\theta \, OR r(\theta) = a \sin k\theta \, 如果k是整數，當k是奇數時那麼曲線將會是k個花瓣，當k是偶數時曲線將是2k個花瓣。如果k為非整數，將產生圓盤(disc)狀圖形，且花瓣數也為非整數。注意：該方程不可能產生4的倍數加2（如2，6，10……）個花瓣。變數a代表玫瑰線花瓣的長度。
阿基米德螺線
方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一條阿基米德螺線. 方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一條阿基米德螺線. 阿基米德螺線在極坐標里使用以下方程表示: r(\theta) = a+b\theta \,. 改變參數a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ > 0，另一條θ < 0。兩條螺線在極點處平滑地連接。把其中一條翻轉 90°/270°得到其鏡像，就是另一條螺線。 圓錐曲線 圓錐曲線方程如下： r = {l\over (1 + e \cos \theta)} 其中l表示半徑，e表示離心率。 如果e < 1，曲線為橢圓，如果e = 1，曲線為拋物線，如果e > 1，則表示雙曲線。
其他曲線
由於坐標系統是基於圓環的，所以許多有關曲線的方程，極坐標要比直角坐標系(笛卡爾形式)簡單得多。比如雙紐線, 心臟線。
應用
行星運動的開普勒定律 開普勒第二定律 開普勒第二定律 另見：開普勒行星運動定律 極坐標提供了一個表達開普拉行星運行定律的自然數的方法。開普勒第一定律，認為環繞一顆恆星運行的行星軌道形成了一個橢圓，這個橢圓的一個焦點在質心上。上面所給出的二次曲線部分的等式可用於表達這個橢圓。 開普勒第二定律，即等域定律，認為連接行星和它所環繞的恆星的線在等時間間隔所劃出的區域是面積相等的，即d\mathbf\over dt是常量。這些等式可由牛頓運動定律推得。在開普勒行星運動定律中有相關運用極坐標的詳細推導。

Ⅲ 極坐標與直角坐標的轉化

極坐標轉換為直角坐標

轉化方法及其步驟：

第一步：把極坐標方程中的θ整理成cosθ和sinθ的形式

第二步：把cosθ化成x/ρ,把sinθ化成y/ρ；或者把ρcosθ化成x,把ρsinθ化成y

第三步：把ρ換成（根號下x2＋y2）；或將其平方變成ρ2,再變成x2＋y2

第四步：把所得方程整理成讓人心裡舒服的形式.

例：把 ρ＝2cosθ化成直角坐標方程.

將ρ＝2cosθ等號兩邊同時乘以ρ,得到：ρ2＝2ρcosθ

把ρ2用x2＋y2代替,把ρcosθ用x代替,得到：x2＋y2＝2x

再整理一步,即可得到所求方程為：

（x－1）^2＋y2＝1

這是一個圓,圓心在點（1,0）,半徑為1

直角坐標轉換為極坐標

第一：兩個坐標原點重合.x軸相重合.

第二：長度單位相同.

第三：通常使用「弧度制」.

在此情況下,我們有設直角坐標系裡的曲線上的一個任一點的坐標為A（x,y).則它在極坐標系裡的坐標為A（ρ,θ）.

(3)極坐標和股票擴展閱讀：

在平面內取一個定點O，叫極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對於平面內任何一點M，用ρ表示線段OM的長度（有時也用r表示），θ表示從Ox到OM的角度，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數對 (ρ,θ)就叫點M的極坐標，這樣建立的坐標系叫做極坐標系。通常情況下，M的極徑坐標單位為1（長度單位），極角坐標單位為rad（或°）。

極坐標系是一個二維坐標系統。該坐標系統中的點由一個夾角和一段相對中心點——極點（相當於我們較為熟知的直角坐標系中的原點）的距離來表示。極坐標系的應用領域十分廣泛，包括數學、物理、工程、航海以及機器人領域。

在兩點間的關系用夾角和距離很容易表示時，極坐標系便顯得尤為有用；而在平面直角坐標系中，這樣的關系就只能使用三角函數來表示。對於很多類型的曲線，極坐標方程是最簡單的表達形式，甚至對於某些曲線來說，只有極坐標方程能夠表示。

直角坐標系又叫笛卡爾坐標系，它通過一對數字坐標在平面中唯一地指定每個點，該坐標系是以相同的長度單位測量的兩個固定的垂直有向線的點的有符號距離。每個參考線稱為坐標軸或系統的軸，它們相遇的點通常是有序對（0,0）。坐標也可以定義為點到兩個軸的垂直投影的位置，表示為距離原點的有符號距離。

為了溝通空間圖形與數的研究，我們需要建立空間的點與有序數組之間的聯系，為此我們通過引進空間直角坐標系來實現。 過定點O，作三條互相垂直的數軸，它們都以O為原點且一般具有相同的長度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統稱坐標軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線。

它們的正方向要符合右手規則，即以右手握住z軸，當右手的四指從正向x軸以π/2角度轉向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，點O叫做坐標原點。這樣就構成了一個笛卡爾坐標。

在三維笛卡爾坐標系中，三個平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，將三維空間分成了八個部分，稱為卦限(octant) 空。第Ⅰ卦限的每一個點的三個坐標都是正值。

Ⅳ 極坐標和極點

因為極徑ρ為零，
所以（0，θ）能表示極點，θ可以是任意角。

Ⅳ 極坐標與參數方程難嗎

這個沒法回答
只能說 難者不會，會者不難
可以說，你的數學好的，這個也不會難
原來不行的，這個也不行

Ⅵ 極坐標的定義和概念是什麼

在平面上取一個定點O叫做極點；自點O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個長度單位、角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標系(如圖)。

設M是平面上的任一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的∠xOM叫做點M的極角，記為θ.有序數對(ρ，θ)稱為點M的極坐標，記作M(ρ，θ)．

第一個用極坐標來確定平面上點的位置的是牛頓。他的《流數法與無窮級數》，大約於1671年寫成，出版於1736年。此書包括解析幾何的許多應用，例如按方程描出曲線。書中創建之一，是引進新的坐標系。

(6)極坐標和股票擴展閱讀

平面上有些曲線，採用極坐標時，方程比較簡單。例如以原點為中心，r為半徑的圓的極坐標方程為ρ=r ，等速螺線的極坐標方程為ρ=aθ 。此外，橢圓、雙曲線和拋物線這3種不同的圓錐曲線，可以用一個統一的極坐標方程表示。

對於平面上任意一點p，用ρ表示線段op的長度，稱為點p的極徑或矢徑，從ox到op的角度θ屬於[0，2π]，稱為點p的極角或輻角，有序數對(ρ，θ)稱為點p的極坐標。極點的極徑為零，極角不定。除極點外，點和它的極坐標成一一對應。