㈠ 分形理論有什麼用處
形理論(Fractal Theory)是當今十分風靡和活躍的新理論、新學科。分形的概念是美籍數學家本華·曼德博（法語：Benoit B. Mandelbrot）首先提出的。分形理論的數學基礎是分形幾何學，即由分形幾何衍生出分形信息、分形設計、分形藝術等應用。
分形理論的最基本特點是用分數維度的視角和數學方法描述和研究客觀事物，也就是用分形分維的數學工具來描述研究客觀事物。它跳出了一維的線、二維的面、三維的立體乃至四維時空的傳統藩籬，更加趨近復雜系統的真實屬性與狀態的描述，更加符合客觀事物的多樣性與復雜性。
上世紀80年代初開始的「分形熱」經久不息。分形作為一種新的概念和方法，正在許多領域開展應用探索。美國物理學大師約翰·惠勒說過：今後誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學上的文化人。由此可見分形的重要性。 中國著名學者周海中教授認為：分形幾何不僅展示了數學之美，也揭示了世界的本質，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學，對它的研究也極大地拓展了人類的認知疆域。 分形幾何學作為當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科，它的出現，使人們重新審視這個世界：世界是非線性的，分形無處不在。分形幾何學不僅讓人們感悟到科學與藝術的融合，數學與藝術審美的統一，而且還有其深刻的科學方法論意義。
註：分形理論好比拿著顯微鏡看一公里有多長只適用於科學研究，對於學習和現實生活中的長度，我們所採用的依然是理想情況下的約定俗成。
㈡ 如何對所得到的信號進行分形分析
如何對所得到的信號進行分形分析
為了研究超寬頻帶局部放電信號在各個頻段上的局部特徵、發現特徵頻段，應用小波分析技術，將局部放電信號進行小波分解，使信號變為各個頻段的信號，然後計算各個頻率段信號的分維數，並通過分維數的變化，來量化分析信號特徵峰的特徵。應用這種方法，可以得到各頻段的放電信號的分形特徵，為進一步研究超寬頻帶放電信號的變化規律奠定了基礎。
㈢ 各位大俠，問下現如今國內外分形都研究些什麼內容
很多啊 自然界本來就是分形的
高能物理會用到， 材料會用到， 研究數學理論的也有
不知道樓主想了解什麼方向。在微尺度下，分形的作用很大。
㈣ 城鎮體系分形研究用的是什麼軟體回歸模擬和點對都是怎麼算出來的呢新手求指教啊！
不用什麼軟體，最多藉助一下EXCEL計算數據和繪制函數圖象.
你可以認真看一下權威的論文，就明白了。
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陳濤.城鎮體系隨機聚集的分形研究
劉繼生，陳濤.城鎮體系空間結構的分形維數及其測算方法
㈤ 分形理論產生的背景
為解決英國海岸線有多長的問題！因此提出分形的概念
㈥ 什麼是股票分形理論
分形理論是用來分析股票走勢數據的，分形方法是一個可以處理非線性時間序列的數據處理工具，而股票就是其中應用之一。
分形方法具有分析、預測非線性時間序列的作用，是通過分析時間序列中時間點數據的復雜程度來討論數據非線性特性的，當下比較前沿。
㈦ 分形理論簡述
分形幾何（Fractal Geometry）的概念是由曼德布羅特（B.B.Mandelbrot.1975）在1975年首先提出的.幾十年來，它已經發展成為一門新型的數學分支.這是一個研究和處理自然與工程中不規則圖形的強有力的理論工具，它的應用幾乎涉及自然科學的各個領域，甚至於社會科學，並且實際上正起著把現代科學各個領域連接起來的作用，分形是從新的角度解釋了事物發展的本質.
分形（fractal）一詞最早由B.B.Mandelbrot於1975年從拉丁文fractus創造出來，《自然界中的分形幾何》（Mandelbrot，1982）為其經典之作.最先它所描述的是具有嚴格自相似結構的幾何形體，物體的形狀與標度無關，子體的數目N（r）與線性尺度（標度r）之間存在冪函數關系，即N（r）∝1/rD.分形的核心是標度不變性（或自相似性），即在任何標度下物體的性質（如形狀，結構等）不變.數學上的分形實際是一種具有無窮嵌套結構的極限圖形，分形的突出特點就是不存在特徵尺度，描述分形的特徵量是分形維數D.不過，現實的分形只是在一定的標度范圍內呈現出自相似或自仿射的特性，這一標度范圍也就稱為（現實）分形的無標度區，在無標度區內，冪函數關系始終成立.
分形理論認為，分形內部任何一個相對獨立的部分，在一定程度上都是整體的再現和相對縮影（分形元），人們可以通過認識部分來認識整體.但是分形元只是構成整體的單位，與整體相似，並不簡單地等同於整體，整體的復雜性遠遠大於分形元.更為重要的是，分形理論指出了分形元構成整體所遵循的原理和規律，是對系統論的一個重要的貢獻.
從分析事物的角度來看，分形論和系統論體現了從兩個極端出發達到對事物全面認識的思路.系統論從整體出發來確立各部分的系統性質，從宏觀到微觀考察整體與部分的相關性；而分形論則是從部分出發確立整體性質，沿著從微觀到宏觀的方向展開.系統論強調部分對整體的依賴性，而分形論則強調整體對部分的依賴性，兩者的互補，揭示了系統多層次面、多視角、多方位的聯系方式，豐富和深化了局部與整體之間的辯證關系.
分形論的提出，對科學認識論與方法論具有廣泛而深遠的意義.第一，它揭示了整體與部分之間的內在聯系，找到了從部分過渡到整體的媒介與橋梁，說明了部分與整體之間的信息「同構」.第二，分形與混沌和現代非線性科學的普遍聯系與交叉滲透，打破了學科間的條塊分割局面，使各個領域的科學家團結在一起.第三，為描述非線性復雜系統提供了簡潔有力的幾何語言，使人們的系統思維方法由線性進展到非線性，並得以從局部中認識整體，從有限中認識無限，從非規則中認識規則，從混沌中認識有序.
分形理論與耗散結構理論、混沌理論是相互補充和緊密聯系的，都是在非線性科學的研究中所取得的重要成果.耗散結構理論著眼於從熱力學角度研究在開放系統和遠離平衡條件下形成的自組織，為熱力學第二定律的「退化論」和達爾文的「進化論」開辟了一條聯系通道，把自然科學和社會科學置於統一的世界觀和認識論中.混沌理論側重於從動力學觀點研究不可積系統軌道的不穩定性，有助於消除對於自然界的確定論和隨機論兩套對立描述體系之間的鴻溝，深化對於偶然性和必然性這些范疇的認識.分形理論則從幾何角度，研究不可積系統幾何圖形的自相似性質，可能成為定量描述耗散結構和混沌吸引子這些復雜而無規則現象的有力工具，進一步推動非線性科學的發展.
分形理論是一門新興的橫斷學科，它給自然科學、社會科學、工程技術、文學藝術等極廣泛的學科領域提供了一般的科學方法和思考方式.就目前所知，它有很高程度的應用普遍性.這是因為，具有標度不變性的分形結構是現實世界普遍存在的一大類結構，該結構的含義十分豐富，它不僅指研究對象的空間幾何形態，而是一般地指其拓撲維（幾何維數）小於其測量維數的點集，如事件點的分布，能量點的分布，時間點的分布，過程點的分布，甚至是意識點、思維點的分布.
分形思想的基本點可以簡單表述如下：分形研究的對象是具有自相似性的無序系統，其維數的變化是連續的.從分形研究的進展看，近年來，又提出若干新的概念，其中包括自仿射分形、自反演分形、遞歸分形、多重分形、胖分形等等.有些分形常不具有嚴格的自相似性，正如定義所表達的，局部以某種方式與整體相似.
分形理論的自相似性概念，最初是指形態或結構的相似性，即在形態或結構上具有相似性的幾何對象稱為分形，研究這種分形特性的幾何稱為分形幾何學.隨著研究工作的深入發展和領域的拓展，又由於一些新學科，如系統論、資訊理論、控制論、耗散結構理論和協同論等相繼涌現的影響，自相似性概念得到充實與擴展，把信息、功能和時間上的自相似性也包含在自相似性概念之中.於是，把形態（結構）、或信息、或功能、或時間上具有自相似性的客體稱為廣義分形.廣義分形及其生成元可以是幾何實體，也可以是由信息或功能支撐的數理模型，分形體系可以在形態（結構）、信息和功能各個方面同時具有自相似性，也允許只在某一方面具有自相似性；分形體系中的自相似性可以是完全相似，這種情況是不多見的，也可以是統計意義上的相似，這種情況佔大多數，相似性具有層次或級別上的差別.級別最低的為生成元，級別最高的為分形體系的整體.級別愈接近，相似程度越好，級別相差愈大，相似程度越差，當超過一定范圍時，則相似性就不存在了.
分形具有以下幾個基本性質：
（1）自相似性是指事物的局部（或部分）與整體在形態、結構、信息、功能和時間等方面具有統計意義上的相似性.
（2）適當放大或縮小分形對象的幾何尺寸，整個結構並不改變，這種性質稱為標度不變性.
（3）自然現象僅在一定的尺度范圍內，一定的層次中才表現出統計自相似性，在這樣的尺度之外，不再具有分形特徵.換言之，在不同尺度范圍或不同層次上具有不同的分形特徵.
（4）在歐氏幾何學中，維數只能是整數，但是在分形幾何學中維數可以是整數或分數.
（5）自然界中分形是具有冪函數分布的隨機現象，因而必須用統計的方法進行分析和處理.
目前分形的分類有以下幾種：①確定性分形與隨機分形；②比例分形與非比例分形；③均勻分形與非均勻分形；④理論分形與自然分形；⑤空間分形與分形事件（時間分形）.
分形研究應注意以下幾個問題：
（1）統計性（隨機性）.研究統計意義上的分形特徵，由統計數據分析中找出穩態規律，才能最客觀地描述自然紋理與粗糙度.從形成過程來看，分形是一個無窮隨機過程的體現.如大不列顛海岸線的復雜度是由長期海浪沖擊、侵蝕及風化形成的，其他許多動力過程、凝聚過程也都是無窮隨機的，不可能由某個特徵量來形成.因此，探討分形與隨機序列、信息熵之間的內在聯系是非常必要的.
（2）全局性.分形是整體與局部比較而存在的，它包括多層嵌套及無窮的精細結構.研究一個平面（二維）或立體（三維）的粗糙度，要考慮全局范圍各個方向的平穩性，即區別各向同性或各向異性分布規律.
（3）多標度性.一個物體的分形特性通常是在某些尺度下體現出來，在另一些尺度下則不是分形特性.理想的無標度區幾乎不存在，只有從多標度中研究分形特性才較實際.
模型的建立，其實是分形（相似性）模型的建立.利用相似性原理，建立模型單元，對預測單元進行分形處理和預測.
分形的正問題是給出規律，通過迭代和遞推過程產生分形，產生的幾何對象顯然具有某種相似性.反問題叫做分形重構.廣義而言，它指任何一個幾何上認為是分形的圖形，能否找到產生它的規律，以某種方式來生成它.當我們研究非線性動力學時，混沌動力學會產生分形，而分形重構則是動力學系統研究的逆問題.由於存在「一因多果」、「多因一果」，由分維重構分形還需加入另外參數.
臨界現象與分形有關.重整化群是研究臨界現象的一種方法.該方法首先對小尺寸模型進行計算，然後被重整化至大的或更大的尺度.如果我們有網格狀的一組元素，每個元素具有一定的滲透概率，重整化群方法的一個應用就是計算滲透的開始問題.當元素滲透率達到某一臨界值時，這一組元素的滲透流動就會突然地發生.一旦流動開始後，相聯結元素之間便具有分形結構.
自組織臨界現象的概念可以用來分析地震活動性.按照這個概念，一個自然界的系統處在穩定態的邊緣，一旦偏離這個狀態，系統會自然地演化回到邊緣穩定的狀態.臨界狀態不存在天然的長度標度，因而是分形的.簡單的細胞自動機模型可以說明這種自組織臨界現象.
分形理論作為非線性科學的一個分支，是研究自然界空間結構復雜性的一門學科，可從復雜的看似無序的圖案中，提取出確定性、規律性的參量.既可以反演分形結構的形成機制，又可以從看似隨機的演化過程（時間序列）中推測體系演化的結果，近年來倍受地球科學家的注意.在地質統計學，孔隙介質、儲層非均勻性及石油勘探開發，固相表面或兩相界面，岩石破裂、斷層及地震和地形、地貌學等地球科學各個領域得到了廣泛的應用.
自20世紀80年代初以來，一些專家學者注意到了地質學中的自相似現象，並試圖將分形理論運用於地學之中.以地質學中普遍存在的自相似性現象、地質體高度不規則性和分割性與層次性、地質學中重演現象的普遍性、分形幾何學在其他學科中應用實例與地質學中的研究對象的相似性、地質學中存在一些冪函數關系等為內在基礎，以地質學定量化的需要、非線性地質學的發展及線性地質學難以解決諸多難點、分形理論及現代測試和電算技術的發展為外在基礎，使分形理論與地質學相結合成為可能，它的進一步發展將充實數學地質的研究內容並推動數學地質邁上一個新台階.目前，分形理論應用於地球科學主要包括以下兩個方面的研究：
（1）對「地質存在」——地質體或某些地質現象的分形結構分析，求取相應分形維數，尋找分維值與有關物理參量之間的聯系，探討分形結構形成的機理.這方面的研究相對較多，如人們已對斷裂、斷層和褶皺等地質構造（現象）進行了分形分析，探討分維值與岩石力學性質等之間的關系；從大到海底（或大陸）地貌，小到納米級的微晶表面證實了各類粗糙表面具有分形特徵；計算了河流網路，斷裂網路，地質多孔介質和粘性指進的分維值以及脈厚與品位或品位與儲量等之間的分形關系.
（2）對「地質演化」——地質作用過程進行分形分析，求取分形維數並考察其變化趨勢，從而預測演化的結果.例如，科學家們通過對強震前小震分布的分形研究表明，強震前普遍出現降維現象，從而為地震預報提供有力理論工具.當今的研究，不僅僅局限於分維數的計算，分形模型的建立；而更著重於解釋地質學中引起自相似性特徵的原因或成因，自相似體系的生成過程及模擬，以及用分形理論解決地質學中的疑難問題與實踐問題，如地震和災害地質的預報、石油預測、岩體力學類型劃分、成礦規律與成礦預測等.地球化學數據在很大程度上反映了地質現象的結構特徵.分維是描述分形結構的定量參數，它有可能揭示出地球化學元素空間分布的內在規律.
分維與地質異常有一定的關系.我們可以對不同地段以一定的地質內容為參量對比它們分維大小的差異，以此求得結構地段的位置及范圍，從而確定地質異常；也可以對不同時期可恢復的歷史地質結構格局分別求分維，還可以確定分維背景值.分形是自然界中普遍存在的一種規律性.
總之，分形理論已經滲透到地學領域的各個角落，應用范圍涉及地球物理學、地球化學、石油地質學、構造地質學及災害地質學等.
㈧ 計算機圖形學發展前景怎麼樣，現在研究領域一般都分哪些
計算機圖形學是隨著計算機及其外圍設備而產生和發展起來的，作為計算機科學與技術學科的一個獨立分支已經歷了近40年的發展歷程。一方面,作為一個學科,計算機圖形學在圖形基礎演算法、圖形軟體與圖形硬體三方面取得了長足的進步,成為當代幾乎所有科學和工程技術領域用來加強信息理解和傳遞的技術和工具。另一方面,計算機圖形學的硬體和軟體本身已發展成為一個巨大的產業。
1.計算機圖形學活躍理論及技術
(1)分形理論及應用
分形理論是當今世界十分活躍的新理論。作為前沿學科的分形理論認為，大自然是分形構成的。大千世界，對稱、均衡的對象和狀態是少數和暫時的，而不對稱、不均衡的對象和狀態才是多數和長期的，分形幾何是描述大自然的幾何學。作為人類探索復雜事物的新的認知方法，分形對於一切涉及組織結構和形態發生的領域，均有實際應用意義，並在石油勘探、地震預測、城市建設、癌症研究、經濟分析等方面取得了不少突破性的進展。分形的概念是美籍數學家曼德布羅特(B.B.Mandelbrot)率先提出的。1967年他在美國《科學》雜志上發表了題為《英國的海岸線有多長？》的著名論文。
??海岸線作為曲線，其特徵是極不規則、極不光滑的，呈現極其蜿蜒復雜的變化。它無法用常規的、傳統的幾何方法描述。我們不能從形狀和結構上區分這部分海岸與那部分海岸有什麼本質的不同，這種幾乎同樣程度的不規則性和復雜性，說明海岸線在形貌上是自相似的，也就是部局形態和整體形態的相似。在沒有建築物或其他東西作為參照物時，在空中拍攝的100公里長的海岸線與放大了的10公里長海岸線的兩張照片，看上去十分相似。
??曾有人提出了這樣一個顯然是荒謬的命題：「英國的海岸線的長度是無窮大。」其論證思路是這樣的：海岸線是破碎曲折的，我們測量時總是以一定的尺度去量得某個近似值，例如，每隔100米立一個標桿，這樣，我們測得的是一個近似值，是沿著一條折線計算而得出的近似值，這條折線中的每一段是一條長為100米的直線線段。如果改為每10米立一個標桿，那麼實際量出的是另一條折線的長度，它的每一個片段長10米。顯然，後一次量出的長度將大於前一次量出的長度。如果我們不斷縮小尺度，所量出的長度將會越來越大。這樣一來，海岸線的長度不就成為無窮大了嗎?
??為什麼會出現這樣的結論呢？曼德布羅特提出了一個重要的概念：分數維，又稱分維。一般來說，維數都是整數，直線線段是一維的圖形，正方形是二維的圖形。在數學上，把歐氏空間的幾何對象連續地拉伸、壓縮、扭曲，維數也不變，這就是拓撲維數。然而，這種維數觀並不能解決海岸線的長度問題。曼德布羅特是這樣描述一個繩球的維數的：從很遠的距離觀察這個繩球，可看作一點(零維)；從較近的距離觀察，它充滿了一個球形空間(三維)；再近一些，就看到了繩子(一維)；再向微觀深入，繩子又變成了三維的柱，三維的柱又可分解成一維的纖維。那麼，介於這些觀察點之間的中間狀態又如何呢？顯然，並沒有繩球從三維對象變成一維對象的確切界限。英國的海岸線為什麼測不準？因為歐氏一維測度與海岸線的維數不一致。根據曼德布羅特的計算，英國海岸線的維數為1.26。有了分維的概念，海岸線的長度就可以確定了。
??1975年，曼德布羅特發現：具有自相似性的形態廣泛存在於自然界中，如連綿的山川、飄浮的雲朵、岩石的斷裂口、布朗粒子運動的軌跡、樹冠、花菜、大腦皮層……曼德布羅特把這些部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形(Fractal)，這個單詞由拉丁語Frangere衍生而成，該詞本身具有「破碎」、「不規則」等含義。
??曼德布羅特的研究中最精彩的部分是1980年他發現的並以他的名字命名的集合，他發現整個宇宙以一種出人意料的方式構成自相似的結構。Mandelbrot集合圖形的邊界處，具有無限復雜和精細的結構。在此基礎上，形成了研究分形性質及其應用的科學，稱為分形理論(Fractal theory)或分形幾何學(Fractal geometry)。
分形的特點和理論貢獻
??數學上的分形有以下幾個特點：
??(1)具有無限精細的結構；
??(2)比例自相似性；
??(3)一般它的分數維大於它的拓撲維數；
??(4)可以由非常簡單的方法定義，並由遞歸、迭代產生等。
??(1)(2)兩項說明分形在結構上的內在規律性。自相似性是分形的靈魂，它使得分形的任何一個片段都包含了整個分形的信息。第(3)項說明了分形的復雜性，第(4)項則說明了分形的生成機制。
??我們把傳統幾何的代表歐氏幾何與以分形為研究對象的分形幾何做一比較，可以得到這樣的結論：歐氏幾何是建立在公理之上的邏輯體系，其研究的是在旋轉、平移、對稱變換下各種不變的量，如角度、長度、面積、體積，其適用范圍主要是人造的物體；而分形由遞歸、迭代生成，主要適用於自然界中形態復雜的物體，分形幾何不再以分離的眼光看待分形中的點、線、面，而是把它們看成一個整體。
??我們可以從分形圖案的特點去理解分形幾何。分形圖案有一系列有趣的特點，如自相似性、對某些變換的不變性、內部結構的無限性等。此外，分形圖案往往和一定的幾何變換相聯系，在一些變化下，圖案保持不變，從任意的初始狀態出發，經過若干次的幾何變換，圖形將固定在這個特定的分形圖案上，而不再發生變化。自相似原則和迭代生成原則是分形理論的重要原則。
??分形理論發展了維數的概念。在發現分數維以前，人們習慣於將點定義為零維，直線為一維，平面為二維，空間為三維，愛因斯坦在相對論中引入時間維，就形成四維時空。對某一問題給予多方面的考慮，可建立高維空間，但都是整數維。
??分形是20世紀涌現出的新的科學思想和對世界認識的新視角。從理論上講，它是數學思想的新發展，是人類對於維數、點集等概念的理解的深化與推廣。同時它又與現實的物理世界緊密相連，成為研究混沌(Chaos)現象的重要工具。眾所周知，對混沌現象的研究正是現代理論物理學的前沿和熱點之一。
??由於分形的研究，人們對於隨機性和確定性的辯證關系有了進一步的理解。同樣對於過程和狀態的聯系，對於宏觀和微觀的聯系，對於層次之間的轉化，對於無限性的豐富多采，也都產生了有益的影響。
??分形理論還是非線性科學的前沿和重要分支，作為一種方法論和認識論，其啟示是多方面的：一是分形整體與局部形態的相似，啟發人們通過認識局部來認識整體，從有限中認識無限；二是分形揭示了介於整體與部分、有序與無序、復雜與簡單之間的新形態和秩序；三是分形從特定層面揭示了世界普遍聯系和統一的圖景。
分形學的應用領域
??除了理論上的意義之外，在實際應用中，分形也顯示了巨大的潛力，它已經在許多領域中得到有效的應用，其應用范圍之廣、效益之明顯遠遠超過了十幾年前的任何預測。目前大量分形方法的應用案例層出不窮。這些案例涉及的領域包括：生命過程進化，生態系統，數字編碼和解碼，數論，動力系統，理論物理(如流體力學和湍流) 等方面，此外，還有人利用分形學做城市規則和地震預報。
??分形技術在數據壓縮中的應用是一個非常典型的例子。美國數學會會刊在1996年6月的刊物上發表了巴斯利的文章《利用分形進行圖形壓縮》，他把分形用於光碟製作的圖形壓縮中。一般來說，我們總是把一個圖形作為像素的集合來加以存儲和處理。一張最普通的圖片也常常涉及幾十萬乃至上百萬像素，從而占據大量的存儲空間，傳輸速度也大大受到限制。巴斯利運用了分形中的一個重要思想：分形圖案是與某種變換相聯系的，我們可以把任何一個圖形看作是某種變換反復迭代的產物。因此，存儲一個圖形，只需存儲有關這些變換過程的信息，而無需存儲圖形的全部像素信息。只要找到這個變換過程，圖形就可以准確地再現出來，而不必去存儲大量的像素信息。使用這種方法，在實際的應用中，已經達到了壓縮存儲空間至原來1/8的效果。
??近年來，由分形理論發展起來的分形藝術(Fractal Art，FA)，在表現形式和分形幾何的理解等方面亦取得了突破性的進展。分形藝術是二維可視藝術，在許多方面類似於攝影。分形圖像作品一般是通過計算機屏幕和列印機來展現的。分形藝術中的另一個重要部分便是分形音樂，分形音樂是由一個演算法的多重迭代產生的。自相似是分形幾何的本質，有人利用這一原理來建構一些帶有自相似小段的合成音樂，主題在帶有小調的三番五次的反復循環中重復，在節奏方面可以加上一些隨機變化。我們常見的計算機屏幕保護程序，許多也是通過分形計算而得來的。
進入1990年代以來，人們開始越來越多地利用這一理論研究經濟領域的一些問題，主要集中在對金融市場（如股票市場、外匯市場等）的研究。操縱者可以通過在若干時間點上的操縱使股價在微觀尺度上發生所希望的變化；從時間的宏觀尺度上來看，要使股價發生所希望的變化，就要求操縱者具有相當的經濟實力。從分形的角度來看，股票價格具有分形特徵。一方面，股價具有復雜的微觀結構；另一方面，它具有對時間的標度不變性，即在不同的觀測尺度下具有相似的結構，其結構是復雜和簡單、不規則和有序的統一。對股價操縱者來說，要在單個時間點上影響股價並不難，即使是在大的時間尺度上影響股價也是有可能的，但是要想通過人為的操縱，在影響股價的同時，保持股價在時間的微觀和宏觀尺度上的一致性，在技術上就會顯得非常困難。
(2) 曲面造型技術。它是計算機圖形學和計算機輔助幾何設計(Computer Aided Geometric Design)的一項重要內容，主要研究在計算機圖象系統的環境下對曲面的表示、設計、顯示和分析。它肇源於飛機、船舶的外形放樣工藝，由Coons、Bezier等大師於六十年代奠定理論基礎。經三十多年發展，現在它已經形成了以Bezier和B樣條方法為代表的參數化特徵設計和隱式代數曲面表示這兩類方法為主體，以插值(Interpolation) 、擬合(Fitting) 、逼近(Approximation)這三種手段為骨架的幾何理論體系。隨著計算機圖形顯示對於真實性、實時性和交互性要求的日益增強，隨著幾何設計對象向著多樣性、特殊性和拓撲結構復雜性靠攏的趨勢的日益明顯，隨著圖形工業和製造工業邁向一體化、集成化和網路化步伐的日益加快，隨著激光測距掃描等三維數據采樣技術和硬體設備的日益完善，曲面造型在近幾年來得到了長足的發展。這主要表現在研究領域的急劇擴展和表示方法的開拓創新。
一.從研究領域來看，曲面造型技術已從傳統的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，擴充到曲面變形、曲面重建、曲面簡化、曲面轉換和曲面位差。
曲面變形(Deformation or Shape Blending): 傳統的非均勻有理B樣條(NURBS)曲面模型，僅允許調整控制頂點或權因子來局部改變曲面形狀，至多利用層次細化模型在曲面特定點進行直接操作；一些簡單的基於參數曲線的曲面設計方法，如掃掠法(Sweeping)，蒙皮法(Skinning)，旋轉法和拉伸法，也僅允許調整生成曲線來改變曲面形狀。計算機動畫業和實體造型業迫切需要發展與曲面表示方式無關的變形方法或形狀調配方法，於是產生了自由變形（FFD）法，基於彈性變形或熱彈性力學等物理模型(原理)的變形法，基於求解約束的變形法，基於幾何約束的變形法等曲面變形技術和基於多面體對應關系或基於圖象形態學中Minkowski和操作的曲面形狀調配技術。最近，筆者及其學生劉利剛首創活動局部球面坐標插值的新思想，給出了空間點集內在變數的完整數學描述，從幾何內在解的角度，設計了三維多面體和自由曲面形狀調配的一整套快速有效的演算法，畫面流暢，交互實時，對三維曲面變形的技術難題實現了突破。
曲面重建(Reconstruction)：在精緻的轎車車身設計或人臉-類雕塑曲面的動畫製作中，常用油泥制模，再作三維型值點采樣。在醫學圖象可視化中，也常用CT切片來得到人體臟器表面的三維數據點。從曲面上的部分采樣信息來恢復原始曲面的幾何模型，稱為曲面重建。采樣工具為：激光測距掃描器，醫學成象儀，接觸探測數字轉換器，雷達或地震勘探儀器等。根據重建曲面的形式，它可分為函數型曲面重建和離散型曲面重建這兩類。
曲面簡化(Simplification)：與曲面重建一樣，這一研究領域目前也是國際熱點之一。其基本思想在於從三維重建後的離散曲面或造型軟體的輸出結果（主要是三角網格）中去除冗餘信息而又保證模型的准確度，以利於圖形顯示的實時性、數據存儲的經濟性和數據傳輸的快速性。對於多解析度曲面模型而言，這一技術還有利於建立曲面的層次逼近模型，進行曲面的分層顯示，分層傳輸和分層編輯。具體的曲面簡化方法有：網格頂點剔除法，網格邊界刪除法，網格優化法，最大平面逼近多邊形法以及參數化重新采樣法。
曲面轉換(Conversion)：同一張曲面可以表為不同的數學形式，這一思想不僅具有理論意義，而且具有工業應用的現實意義。例如，NURBS這種參數有理多項式曲面雖然包括了參數多項式曲面的一切優點，但也存在著微分運算繁瑣費時、積分運算無法控制誤差的局限性。而在曲面拼接及物性計算中，這兩種運算是不可避免的。這就提出了把一張NURBS曲面轉化成近似的多項式曲面的問題。同樣的要求更體現在NURBS曲面設計系統與多項式曲面設計系統之間的數據傳遞和無紙化生產的工藝過程中。再如，在兩張參數曲面的求交運算中，如果把其中一張曲面的NURBS形式轉化為隱式，就容易得到方程的數值解。近幾年來，國際圖形界對曲面轉換的研究主要集中在以下幾方面：NURBS曲面用多項式曲面來逼近的演算法及收斂性；Bezier曲線曲面的隱式化及其反問題；CONSURF飛機設計系統的Ball曲線向高維的各種推廣形式的比較及互化；有理Bezier曲線曲面的降階逼近演算法及誤差估計；NURBS曲面在三角域上與矩形域上的互相快速轉化等。
曲面位差(Offset)：也稱為曲面等距性，它在計算機圖形及加工中有廣泛應用，因而成為這幾年的熱門課題之一。例如，數控機床的刀具路徑設計就要研究曲線的等距性。但從數學表達式容易看出，一般而言，一條平面參數曲線的等距曲線不再是有理曲線，這就越出了通用的NURBS系統的使用范圍，造成了軟體設計的復雜性和數值計算的不穩定。
二．從表示方法來看，以網格細分(Subdivision)為特徵的離散造型與傳統的連續造型相比，大有後來居上的創新之勢。而且，這種曲面造型方法在生動逼真的特徵動畫和雕塑曲面的設計加工中如魚得水，得到了高度的運用。
在1998年榮獲奧斯卡大獎的電影作品中，有一個短片赫然在列，這就是美國著名的Pixar動畫電影製片廠選送的作品"Geri's Game"。動畫片描述了一個名叫Geri的老頭，在公園里自己與自己下國際象棋，千方百計想取勝的詼諧故事。畫面中人物和景色的造型細致生動，與故事情節渾然一體，使觀眾得到真正的美學享受。而這部動畫片製作中的設計者，就是以上論文的作者，著名的計算機圖形學家T.DeRose。DeRose在SIGGRAPH'98大會上報告的論文講到了選用C-C細分曲面作為Geri老頭特徵造型模型的背景。他指出，NURBS盡管早已被國際標准組織ISO作為定義工業產品數據交換的STEP標准，在工業造型和動畫製作中得到了廣泛的應用，但仍然存在著局限性。單一的NURBS曲面，如其他參數曲面一樣，限於表示在拓撲上等價於一張紙，一個圓柱面或一個圓環面的曲面，不能表示任意拓撲結構的曲面。為了表達特徵動畫中更復雜的形狀，如人的頭，人的手或人的服飾，我們面臨著一場技術挑戰。當然，我們可以用最普通的復雜光滑曲面的造型方法，例如對NURBS的修剪(Trimming)來對付。確實，目前已經存在一些商用系統，諸如Alias-Wavefront和SoftImage等可以做到這一點，但是它們至少會遭遇到以下的困難：第一，修剪是昂貴的，而且有數值誤差；第二，要在曲面的接縫處保持光滑，即使是近似的平滑也是困難的，因為模型是活動的。而細分曲面有潛力克服以上兩個困難，它們無須修剪，沒有縫，活動模型的平滑度被自動地保證。DeRose成功地應用了C-C的細分曲面造型法，同時發明了構造光滑的變半徑的輪廓線及合成物的實際技術，提出了在服飾模型中碰撞檢測的有效新演算法，構造了關於細分曲面的光滑因子場方法。憑借這些數學和軟體基礎，他形象逼真地表現了Geri老頭的頭殼，手指和衣服，包括茄克衫，褲子，領帶和鞋子。這些都是傳統的NURBS連續曲面造型所不易做到的。那麼，C-C細分曲面是怎樣構造的呢？它與傳統的Doo-Sabin細分曲面異曲同工，都是從一個稱之為控制網格(網格多半可用激光從手工模型上輸入)的多面體開始，遞歸地計算新網格上的每個頂點，這些頂點都是原網格上某幾個頂點的加權平均。如果多面體的一個面有n條邊，細分一次後，這個面就會變成n個四邊形。隨著細分的不斷進行，控制網格就被逐漸磨光，其極限狀態就是一張自由曲面。它是無縫的，因而是平滑的，即使模型是活動的。這種方法顯著地壓縮了設計和建立一個原始模型的時間。更重要的，允許原始模型局部地精製化。這就是它優於連續曲面造型方法之處. C-C細分是基於四邊形的，而Loop曲面(1987年)，蝶形曲面(1990年)是基於三角形的。它們都一樣受到當今圖形工作者的重用。
(3)計算機輔助設計與製造（CAD/CAM）。 這是一個最廣泛，最活躍的應用領域。計算機輔助設計（Computer Aided Design，CAD）是利用計算機強有力的計算功能和高效率的圖形處理能力，輔助知識勞動者進行工程和產品的設計與分析，以達到理想的目的或取得創新成果的一種技術。它是綜合了計算機科學與工程設計方法的最新發展而形成的一門新興學科。計算機輔助設計技術的發展是與計算機軟體、硬體技術的發展和完善，與工程設計方法的革新緊密相關的。採用計算機輔助設計已是現代工程設計的迫切需要。CAD技術目前已廣泛應用於國民經濟的各個方面，其主要的應用領域有以下幾個方面。
1．製造業中的應用
CAD技術已在製造業中廣泛應用，其中以機床、汽車、飛機、船舶、航天器等製造業應用最為廣泛、深入。眾所周知，一個產品的設計過程要經過概念設計、詳細設計、結構分析和優化、模擬模擬等幾個主要階段。
同時，現代設計技術將並行工程的概念引入到整個設計過程中，在設計階段就對產品整個生命周期進行綜合考慮。當前先進的CAD應用系統已經將設計、繪圖、分析、模擬、加工等一系列功能集成於一個系統內。現在較常用的軟體有UG II、I-DEAS、CATIA、PRO/E、Euclid等CAD應用系統，這些系統主要運行在圖形工作站平台上。在PC平台上運行的CAD應用軟體主要有Cimatron、Solidwork、MDT、SolidEdge等。由於各種因素，目前在二維CAD系統中Autodesk公司的AutoCAD占據了相當的市場。
2．工程設計中的應用
CAD技術在工程領域中的應用有以下幾個方面：
（1）建築設計，包括方案設計、三維造型、建築渲染圖設計、平面布景、建築構造設計、小區規劃、日照分析、室內裝潢等各類CAD應用軟體。
（2）結構設計，包括有限元分析、結構平面設計、框/排架結構計算和分析、高層結構分析、地基及基礎設計、鋼結構設計與加工等。
（3）設備設計，包括水、電、暖各種設備及管道設計。
（4）城市規劃、城市交通設計，如城市道路、高架、輕軌、地鐵等市政工程設計。
（5）市政管線設計，如自來水、污水排放、煤氣、電力、暖氣、通信（包括電話、有線電視、數據通信等）各類市政管道線路設計。
（6）交通工程設計，如公路、橋梁、鐵路、航空、機場、港口、碼頭等。
（7）水利工程設計，如大壩、水渠、河海工程等。
（8）其他工程設計和管理，如房地產開發及物業管理、工程概預算、施工過程式控制制與管理、旅遊景點設計與布置、智能大廈設計等。
3．電氣和電子電路方面的應用
CAD技術最早曾用於電路原理圖和布線圖的設計工作。目前，CAD技術已擴展到印刷電路板的設計（布線及元器件布局），並在集成電路、大規模集成電路和超大規模集成電路的設計製造中大顯身手，並由此大大推動了微電子技術和計算及技術的發展。
4．模擬模擬和動畫製作
應用CAD技術可以真實地模擬機械零件的加工處理過程、飛機起降、船舶進出港口、物體受力破壞分析、飛行訓練環境、作戰方針系統、事故現場重現等現象。在文化娛樂界已大量利用計算機造型模擬出逼真的現實世界中沒有的原始動物、外星人以及各種場景等，並將動畫和實際背景以及演員的表演天衣無縫地合在一起，在電影製作技術上大放異彩，拍制出一個個激動人心的巨片。
5．其他應用
CAD技術除了在上述領域中的應用外，在輕工、紡織、家電、服裝、製鞋、醫療和醫葯乃至體育方面都會用到CAD技術
CAD標准化體系進一步完善；系統智能化成為又一個技術熱點；集成化成為CAD技術發展的一大趨勢；科學計算可視化、虛擬設計、虛擬製造技術是20世紀90年代CAD技術發展的新趨向。
經過了一階段計算機圖形學的學習，對於圖形學中基本圖形的生成演算法有了一定的了解。深度研究圖形學，需要高深的數學知識，且每一個細化的方向需要的知識也不一樣。圖形學是計算機科學與技術學科的活躍前沿學科，被廣泛的應用到生物學、物理學、化學、天文學、地球物理學、材料科學等領域。我深深感到這門學科涉及的領域之廣是驚人的，可以說博大精深。