期货价格收益序列的多重分形

㈠ 多重分形模型

当今分形理论的主旋律是多重分形（Multi-fractals），因为简单分形只用一个维数来描述其整体的特征，不能完整地刻画大自然的复杂性和多样性.对于许多复杂的现象，它们包含多个层次，每个层次具有不同的统计特征.比如，对湍流、混沌和分形生长类型的非均匀复杂几何体，必须用多个维数来描述，才能全面刻画其特征.多重分形就是针对这类情况而提出的新概念.

多重分形也称为分形测度.它是研究一种物理量在一个支撑（support）上的分布状况，换句话说，多重分形理论是定义在分形上的多个标度指数的奇异测度所组成的无限集合.多重分形理论定量刻画了分形测度在支撑上的分布状况.

3.5.1 矿床分布模型

Mandelbort认为：“高品位的铜矿的分布是不均匀的，主要集中在世界少数地区.如果进一步考察其中一个地区铜矿的分布，就会发现其分布仍然是不均匀的，主要集中在少数几个子区域之中.从统计意义来说，可以认为：在每一储铜区，无论其区域大小，高品位的铜矿的相对分布都是相同的.”我们现在设想一个矿床分布模型（图3.8）.为了讨论方便，只限于一维的模型.假定有一单位长度的线性地区.第一步，将线性区分成三段，每段长1/3.两端的两段，矿产密度（聚集概率）是P₁，中间一段为P₂，且P₂＞P₁（2P₁+P₂=1），显然，矿物向中间富集［见图3.8（a）］.第二步，在0～1/3，1/3～2/3，2/3～1的三段地区再一次重复上述富集过程，9个子段的矿物浓度为，矿物的富集进一步集中在更少数地区[见图3.8（b）].重复上述富集过程无穷次，富集作用完成，矿产分布形成.图3.8（c）表示第三步（k=3）的结果，图3.8（d）给出无穷步以后的情况.从上面的例子我们可以看出，最终形成的矿产是分形的，但十分复杂.为了完整地描述它，仅用单一一个分维数是不够的，需要多个（甚至无穷多个）参量才能描述它.

从以上模型可以看出：①成矿作用具有相似性，无论哪个地段的成矿作用过程都是相似的，这就造成矿床及元素的空间分布服从分形关系；②成矿富集过程，即地质作用的多次迭加，类似于数学的多次迭加；③该模型可以用于解释一个问题，“地质条件相似，勘查程度相等的地区，产出的矿床储量多少相差极为悬殊”.

图3-8 成矿模型示意图

3.5.2 多重分形模型

我们把研究对象划分为N个不同的区域S_i（i=1，2，…，N）.设r_i为第i个区域S_i线度大小，P_i为该区域S_i的测度（例如概率），不同的区域S_i，P_i也不同，可用不同的标度指数α_i来表征.

分形混沌与矿产预测

若线度大小趋于零，则上式化为：

分形混沌与矿产预测

其中α_i是分形体某小区域的分维数，称为局部分维或标定指数，一般因区域而异，其值大小反映了该区域生成概率的大小.

在α_i中，有相同α值的区域数目N_i（r）也与区域大小r_i有关，即：

分形混沌与矿产预测

其中f（α）表示α在总的分布中所占的分量，它是α的连续函数，正是它构成了多重分形谱，即f（α）谱.f（α）的物理意义是具有相同α值的子集的分维数.一个复杂的分形体，它的内部可分为一系列不同α值（P_i值）所表示的子集.这样f（α）就给出了这一系列子集的分形特征.

可以证明，f（α）是α的凸函数，即f（α）曲线是一条凸曲线，其峰值f（α）=D₀，即相似维或容量维.f（α）=α处的值即是信息维数D₁.

多重分形用α表示分形体小区域的分维数，因为小区域数目很大，于是可得一个由不同α所组成的无穷序列构成的谱并用f（α）表示.f（α）和α是描述多重分形的一套参量.

我们从信息论角度也可以选另一套描述多重分形的参量q和D_q.当r→0时，我们可得：

分形混沌与矿产预测

其中称为q次概率矩，D_q称为q次广义分维数（或q次信息维），q是表征多重分形不均匀程度的量，C＞0称为比例常数，τ（q）=（q-1）D_q是q的函数，∑P_i=1.（3.5.4）式称为多重分形模型.通过Legender变换可得（具体论述见文献陈禺页，陈凌.分形几何学，1998年，p.127）：

分形混沌与矿产预测

从上式可以看出，若有二个区域m和j的概率分别是P_m和P_j，且P_m≫P_j.当q≫1时，在∑求和中显然是起主要作用，这时的I_q（r）和D_q主要反映的是概率高（或稠密的）区域的性质.在q→∞极限条件下，可以只考虑P_max而忽略其他的小概率，这样就大大简化了I_q（r）的计算.反之，当q≪1时，I_q（r）和D_q主要反映的是分布中概率比较小（或稀疏的）区域的性质.多重分形是一个由有限几种或大量具有不同分形行为的子集合叠加而组成的非均匀分维分布的奇异集合，因此，多重分形概念是原始分形概念对于非均匀分形的自然推广.利用多重分形这个概念，使我们能分层次地了解分形内部的精细结构.

将式（3.5.1）和（3.5.3）代入（3.5.4），可得：

分形混沌与矿产预测

由于r很小，则在求和时，I_q（r）仅当αq-f（α）取极小值时贡献最大，由于α随q不同而变化，故极小值条件为：

即，此式说明f（α）的斜率数值就是q阶矩的阶数.

即，此式说明f（α）是一个上凸曲线.

由上面二式可以求出当αq-f（α）取极小值时α的值α^*（q）来.这时I_q（r）可以写成：

分形混沌与矿产预测

代入（3.5.4），可得：

分形混沌与矿产预测

式（3.5.9）表明，如果知道α和它的谱f（α），就可以求出D_q来.反之，如果知道了D_q，我们也可以求出α来.将式（3.5.9）对q求微商，可得：

分形混沌与矿产预测

上述关系式（3.5.1）～（3.5.10）构成了多重分形的理论核心，不论用α，f（α）或q，D_q作为独立参数都可以描述多重分形内部结构，可根据实际情况决定用哪一组参数（表3-7）.

这两套参量之间的关系为：D_q=（1/（1-q））［qα-f（α）］或f（α）=qα-τ（q）

其中

分形混沌与矿产预测

表3-7 τ（q），α（q），f（α（q）），D_q在q=0，1，±∞处的值

定理：q次广义分维数D_q满足下列不等式：

分形混沌与矿产预测

证明：由不等式（简明数学手册，上海教育出版社，1978）

分形混沌与矿产预测

上式等号成立当且仅当所有的α_i都相等.

分形混沌与矿产预测

即 D_q′≥D_q当q＞q′时

证毕

根据定理的结论，可推知：

D₀（相似维）≥D₁（信息维）≥D₂（关联维）

注意：上面的定理成立是有条件的，即：∑P_i=1并且当r充分小时.但是在用线性回归方法处理实际数据并计算出广义分维数的D_q（即线性回归方程的斜率），不一定都符合该不等式 D_q≤D_q′（当q＞q′时）.这是因为用统计上的线性回归方法得出的结果是整体上的结果（取决于所有的数据），它与用取极限方法得出的结果是不一样的（参见下面的模拟研究结果）.

3.5.3 多重分形模型模拟研究

我们在计算机上产生了［0，1］区间上的均匀分布，标准正态分布和对数正态分布的随机数各10000个，将每种分布的随机数分成10组（即每组1000个随机数，共有30组），用于多重分形模型的模拟研究.

将每组1000个随机数，按从小到大的次序排列，并把随机数分布的总区间分成r个子区间，计算进入第i个子区间内的随机数的频率P_i（i=1，2，…，r），令，其中r为正整数.

这样得到了数据（I_q（r₁），I_q（r₂），…，I_q（r_n））和（r₁，r₂，…，r_n），将这些数据代入（3.5.4）式中，然后两边取对数，即（3.5.4）式化为一元线性回归模型，应用最小二乘法求出斜率的估计量，即q次广义分维数.

具体计算结果见表3-8（图3-9），表3-9（图3-10）和表3-10（图3-11）.

表3-8 均匀分布的

表3-9 正态分布的

表3-10 对数正态分布的

说明：（1）表3-8，表3-9和表3-10中的为相应分布的10组q次广义分维数的平均值.

（2）对于均匀分布，正态分布和对数正态分布的随机数，取n=26，r_i=3+2i（i=1，2，…，26）.主要依据数据（I_q（r₁），I_q（r₂），…，I_q（r_n））和（r₁，r₂，…，r_n）在此范围内（q≥0），存在无标度区和统计上的要求.

（3）随机数抽取样本1000个，符合统计推断的要求条件.

（4）当q→1时，广义分维数就是信息维数D₁.

为了说明q次广义分维数D^_q的意义，我们引入广义熵K_q（r）（Renyi熵）（q=0，1，…）

分形混沌与矿产预测

图3-9 均匀分布的拟合图

熵是衡量随机现象的不肯定性程度的一个度量.不肯定性程度（随机现象的分布均匀程度）越高，熵值越大.根据（3.5.5）式和（3.5.11）式，我们可推知广义分维数与广义熵K_q成正比.广义分维数可以表征随机数或样本之间的结构性越大，表示随机数或样本均匀程度好；反之，值越小表示随机数或样本均匀程度差.由表3-8，表3-9和表3-10中数据可推知：均匀分布（均匀程度好）的随机数广义分维数＞正态分布（均匀程度居中）的随机数广义分维数＞对数正态分布（均匀程度差）的随机数广义分维数（q≥0）.以上结论与实际情况符合.广义分维数是研究不均匀程度、复杂程度、粗糙程度和不规则程度的度量.

（注：此节的分维数大小比较与3.3.2节的结果不一致，这是因为它们的各自分维数所对应的模型不一致，从而导出的结论也不一致，因此，分维数大小的比较，一定要在相同模型和条件下进行，否则比较是无意义的.）

图3-10 正态分布的拟合图

图3-11 对数正态分布的拟合图

3.5.4 应用实例

某省地矿局物探大队在某金矿田近400km²范围内开展了1∶5万水系沉积物地球化学元素测量，共得到Au和Ag数据各405个（共有810个）.

将上述金的数据以1km²为单元进行网格化，应用网格化数据绘制金地球化学异常图3-14.该图表明：①金异常在空间分布上与正长斑岩体具有一致性，这表明整个正长斑岩体可能是一个富金岩体.②围绕正长斑岩体和闪长玢岩体发育环形金异常，正长斑岩体北侧发育区域性线形金异常.③该金矿位于环形金异常与线形金异常的交汇域.环形与线形金异常的叠加表明该类金矿床的岩控，裂控的双重控矿性质.④岩体内外金高浓度带分布具有了一定的方向性，构成了一系列北西带和北东带.

通过因子分析确定了四类元素组合，其中一类组合为Au-Ag-Hg.Au-Ag-Hg正因子计量等值线（图3-15）在岩体上形成两个北东带，在岩体北东侧形成区域性北西带，它代表了低温金组合异常的分布.

（1）将原始数据进行标准化变换.

变换公式：

分形混沌与矿产预测

其中x_i（i=1，2，…，N）为原始数据（Au和Ag元素）.

分形混沌与矿产预测

变换后的数据的平均数为0，方差为1.且各元素数据的量纲一致，且两元素数据在标准化变换前后的相关程度不变.

（2）将标准化变换后的各元素数据，按从小到大的次序排列，并把该元素数据分布的总区间分成r个子区间，计算进入第i个子区间内的随机数的频率P_i（i=1，2，…，r），令：

分形混沌与矿产预测

这样得到了数据（I_q（r₁），I_q（r₂），…，I_q（r_n））和（r₁，r₂，…，r_n），然后将该数据绘在双对数坐标系统中（即lnI_q（r）—lnr），连接各点，曲线存在明显的直线段，即存在无标度区（q≥0）.

（3）将数据（I_q（r₁），I_q（r₂），…，I_q（r_n））和（r₁，r₂，…，r_n）代入（3.5.4）式中，然后两边取对数，应用最小二乘法求出斜率的估计量，即q次广义分维数.

具体计算结果见表3-11（图3-12）和表3-12（图3-13）.

表3-11 Au数据的

表3-12 Ag数据的

图3-12 Au数据的拟合图

图3-13 Ag数据的拟合图

图3-14 某金矿田Au地球化学异常图

图3-15 某金矿田水系沉积物地球化学因子计量（＞0）图

由表3-11和表3-12中的数据可见：

（1）元素Au和Ag数据分布的均匀程度在正态分布和对数正态分布的均匀程度之间.

（2）元素Au和Ag的广义分维数变化趋势基本一致（q≥1），说明元素Au和Ag数据关系密切.以上结论与实际情况相符合.

㈡ 多重分形统计学特征

多重分形理论是目前研究十分活跃的一门新兴学科。如果说分形理论研究具有自相似性的不规则几何问题的话，那么多重分形将主要运用于定义几何体上(包括分形几何体)具有自相似或统计自相似性的某种度量或者场，比如岩石中微量元素的含量，某一区内测量的地球物理场，或者单位面积内的矿产地分布密度等。通过这种测量可将其所定义的几何体(或二维面积)分成一系列空间镶嵌的具不同特点的子几何体(或子面积)，每种这样的子几何体(或子面积)会构成一种分形，而且具有其自身的分形维数。这种分形的总体将对应一种所谓分形维数谱函数。自然界中许多物理及化学过程会产生多维分形结果，比如在地球化学中具有广泛应用前景的Mulplicative Cascade过程、Diffussion limited aggregatio(DLA)、Turbu-lence、Brownian过程等。这些过程的共同特点是其所产生的结果既具有确定性又具随机性。通过多维分形的研究使数学、物理和化学中许多具有随机和确定双重性质以及奇异性的疑难问题得到了解答。这些成果必将对地质包括地球化学的各个领域产生重要影响。

地球化学元素分布规律的研究是揭示元素矿化富集及空间变化规律的重要途径之一。地球化学数据的统计特征常常用来描述和刻画地球化学元素的分布规律。统计方法之所以能用于研究地球化学元素的分布规律不仅是由于地球化学取样和对样品进行的各种化学分析结果常具有不确定性，而且元素在地壳中的分布本身就具有不均匀性和区域随机性。从具有随机性的地球化学数据中了解元素分布规律是地球化学研究者所面临的重要挑战。统计方法在这方面起着不可替代的作用。然而人们早已注意到普通的统计方法并不考虑样品的空间分布和统计特征随空间度量尺度的变化性。此外，由于一般的统计方法是建立在统计大数定量基础之上的，因而这些统计方法(一、二阶矩有关的统计方法)往往对度量元素的一般值效果较好。严格地说它们并不具备刻画异常值的功能，分形理论则是研究这类复杂系统时空结构特征的有效途径，可以通过多重分形理论清楚地反映出统计方法的局限，而且能有效地克服统计方法的不足，它是一种研究具有自相似或统计自相似场的分布规律和描述场值的奇异性的有效方法，可以用于研究与矿化有关的微量元素在岩石、水系沉积物和土壤等介质中的空间分布和富集规律(陈春仔等，1998;成秋明，2000;谢淑云等，2003;AgterbergFP等，1994;ParedesC等，1999)。与矿化有关的微量元素地球化学场具有多重分形结构特征，微量元素的背景值往往服从正态或对数正态分布，然而高低异常值服从多重分形分布(ChengQ等，1994，1996，1999;成秋明，2004)。本次研究应用多重分形的面积校正累计频率法，对铜陵天马山矿区的18个微量元素进行了研究，初步探讨了主成矿元素、伴生元素和非成矿元素的空间变化和矿化富集规律，为天马山地区进一步找矿预测提供依据。

1.计算方法

地球化学采样点往往不是网格化的，局部区域可能采样较密或较稀甚或缺失。若直接应用原始样品分析数据进行元素含量频率分布研究，则可能过分强调采样较密的局部区域而相对忽视采样较稀的局部区域，不能真实地反映区域内元素含量值的分布特征。浓度－面积法^［299］计算大于含量值c_i(i=1，2……n;n为含量值分组数c_min≤c_i≤c_max)的面积S(C≥c_i)，然后在双对数坐标下考察c_i～S(C≥c_i)间是否存在幂率关系即分形。对于S(C≥c_i)，采用两种途径来确定:①在对原始数据加权移动平均(weightedmovingaveragemethod)插值后制作的地球化学等值线图上，S(C≥c_i)为含量值C大于c_i的等值线圈闭的区域面积;②统计原始含量数值的盒子，即用边长确定的正方形网格覆盖研究区，S(C≥c_i)等于具有含量值大于c_i的正方形网格数。如果在正方形中不止一个样品，则取平均值作为该网格的含量值。众所周知，等值线的计算意味着网格结点的估值运算，运用移动平均、距离系数加权移动平均、克里格法和泛克里格法等网格估值方法可能产生不同的效果;局部特高值点(outlier)可能使邻近网格点的估值普遍偏高，导致孤立高值点拉高一大片;内部的采样空白区也可能以很不准确的估计值来代替。由此看来，方法①存在着固有的不足。本文采用方法②，即面积校正累计频率法研究元素含量频率分布，其计算步骤如下:

以一网格覆盖采样区域，记采样空间坐标(x，y)的最小、最大值分别为x_min，x_max，y_min和y_max，则x和y方向的网格数n_x和n_y应满足:

危机矿山深部隐伏矿大比例尺定位定量预测技术研究

式(8－5)表明x，y方向应具有相同的网格间距，式(8－6)说明总网格数乘以平均网格密度d应为总样品数n。由式(8－5)、式(8－6)可解出n_x和n_y，从而确定所需的覆盖网格。平均网格密度d值可取1～2，使得采样较密区域的网格内有2个或2个以上样品，采样较稀区域的网格内有1个样品，部分网格内没有样品，即为采样空白区。过大的d值会产生数据的“平滑”。本研究由于采样点为网格化的，采用d值为1.5。

斜交参考因子得分Y(i，1)正异常中心有3个，分别位于测区东部46线、50线和66线，显示有一期Au、Hg、Sb、Pb、Ag、As组合元素的富集出现在距天鹅抱蛋山岩体较远处，与岩体成因关系不明显。

计算各个网格元素含量平均值C，并对C值进行累计频率计算，即选定一组c={c_i}(i=1，2……n)为非空网格数c_min≤c_i≤c_max，统计所有网格平均值C大于c的网格数N(C＞c)，最后在双对数坐标下绘制c－N(C＞c)曲线。因C值反映了采样面积校正后的含量分布，称其为面积校正累计频率(area－calibratedaccumulative－frequency，ACAF)法，其结果与浓度－面积模型方法①只相差一个常系数，即单位网格的面积，不影响双对数坐标下曲线的形态。可见，ACAF既消除了由于样品点分布不均一的影响，又不会因孤立高值点导致其邻近等值线畸变和难以剔除采样空白区等，且算法简单。

c_i值按下式确定:

危机矿山深部隐伏矿大比例尺定位定量预测技术研究

式中:C_min为最小平均含量;C_max最大平均含量;δ为校正系数。n_s为计算累计频率的分组数因元素不同而取值不一。使得c_i在对数坐标下为等距，否则容易导致数据点在低含量区过稀而在高含量区过密，影响对其分布模式的总体认识。

2.讨论

1) 在图8－15中，元素含量(c)与个数(N)的投影点呈现出连续的曲线分布趋势，而不是单一的直线分布所表示的简单分形，显示出一种连续分布趋势的多重分形特征。

图8－15 天马山微量元素含量的ACAF曲线

2) 双对数坐标下各元素含量的曲线有两近似线性段。第一近似线性段大致反映了介于检出限到测定下限之间或测定下限附近的低值波动;另一近似线性段跨越了主要的含量区间，反映了地球化学场的内禀分形特征。参数b₁、b₂(表8－18)为这两个近似线性段经最小二乘拟合的直线斜率的负值，即累计频率分布的幂率。

表8－18 天马山微量元素多重分维值

3) 元素含量频率分布曲线上的两近似线性段之间为连续过渡，并有截然的转折点，且第一直线段只反映了介于检出限到测定下限之间或测定下限附近的低值波动。

4) 在部分图像中出现了星点状尾现象，均为高值点，当星点状尾位于拟合直线下端时，表明该元素在矿区有为局部矿化富集趋势。

5) 分维数b定量地刻画了元素含量在空间分布上的丛集程度和不均匀程度。根据有些学者利用分数的维数b表示元素的分布偏离正态分布的程度。多分维b数值反映了多次矿化事件的叠加，一个分数维b值代表了一次矿化(成矿阶段或成矿期)，本区亦可分为多期成矿阶段。从分形曲线的拐点也可以判断矿区存在多期次成矿活动，因此多分形研究对确定不同成矿期次及同一成矿期次的不同成矿阶段是有意义的，但对成矿期次的判别除据拐点分布情况外，还应据矿床地质的研究。

6) 与传统统计方法中聚类分析所得到类别相比较，可以发现多重分形分类得到结果与聚类分析所得到结果有较强的一致性，两者的分类几乎完全一致，这也说明分维值的计算结果是合理可信的。元素中b₂值的大小变化可以解释为:b₂值越小，即直线越平缓，元素的低含量点到高含量点的变化频率下降的越慢，元素含量在空间上的丛集程度越高，就存在着较多的高含量点，有富集成矿的趋势;b₂值越大，则高含量点分布较少，主要含量点集中在低含量区，也就不存在大规模富集成矿的可能。

㈢ 两个序列，期货价格（x）和股价（y），怎么用eviews进行GARCH模型回归该输入什么

股票上市后，形成了实际成交价格，这就是通常所说的股票价格，即股价。股价大半都和票面价格大有差别，一般所谓股票净值是指已发行的股票所含的内在价值，从会计学观点来看，股票净值等于公司资产减去负债的剩余盈余，再除以该公司所发行的股票总数。五荤一般是指：大蒜、革葱（即大葱）、慈

㈣ 黄健柏的代表性研究成果

[1] Long-term behavior of non-ferrous metal price models with jumps[J].ADVANCES IN DIFFERENCE EQUATIONS,2014.
[2] Corporate social responsibility, the cost of equity capital and ownership structure: An analysis of Chinese listed firms[J].AUSTRALIAN JOURNAL OF MANAGEMENT,2014.
[3] Incorporating Overconfidence into Real Option Decision-Making Model of Metal Mineral Resources Mining Project[J].DISCRETE DYNAMICS IN NATURE AND SOCIETY,2014.
[4] Project Capital Allocation Combination Equilibrium Decision Model Based on Behavioral Option Game[J].DISCRETE DYNAMICS IN NATURE AND SOCIETY,2014.
[5] The Analysis of Pricing Power of Preponderant Metal Mineral Resources under the Perspective of Intergenerational Equity and Social Preferences: An Analytical Framework Based on Cournot Equilibrium Model[J].ABSTRACT AND APPLIED ANALYSIS,2014.
[6] Binary Tree Pricing to Convertible Bonds with Credit Risk under Stochastic Interest Rates[J].ABSTRACT AND APPLIED ANALYSIS,2013.
[7] Long memory of price-volume correlation in metal futures market based on fractal features[J].TRANSACTIONS OF NONFERROUS METALS SOCIETY OF CHINA,2013.
[8] Empirical study of speculation roles in international copper price bubble formation[J].TRANSACTIONS OF NONFERROUS METALS SOCIETY OF CHINA,2013. Strategic equilibrium
[8] Price analysis and numerical simulation of preponderant high-tech metal mineral resources[J].TRANSACTIONS OF NONFERROUS METALS SOCIETY OF CHINA,2013.
[9] Research on Multifractal Features of Metal Futures Market Based on Multifractal Detrended Cross-correlation Analysis[J].KYBERNETES,2012.
[10] The survival conditions of SMEs in Guangdong Province of China: An empirical research under the globle economic crisis[J].AFRICAN JOURNAL OF BUSINESS MANAGEMENT,2012.
[11] Multiple Timescale Analysis of Metal Prices Volatility Based on Empirical Mode Decomposition[J].JOURNAL OF CONVERGENCE INFORMATION TECHNOLOGY(JCIT),2012.
[12]The Establishment of Copper Price Volatility Pre-Warning Indicatorssystem of China Based on Cross Correlation-Principle Component Analysis[J].INTERNATIONAL JOURNAL OF DIGITAL CONTENT TECHNOLOGY AND ITS APPLICATIONS(JDCTA),2012.
[13] 土地价格扭曲、企业属性与过度投资——基于中国工业企业数据和城市地价数据的实证研究[J].中国工业经济,2015.
[14] 中国金属资源战略形势变化及其产业政策调整研究[J].中国人口.资源与环境,2014.
[15] 沪铜期货市场价格发现的动态贡献——基于状态空间模型的实证研究[J].技术经济与管理研究,2014.
[16] 金属期货量价关系的多重分形特征研究[J].管理评论,2013.
[17] 非公平规避衰变路径实验研究[J].系统工程,2010.
[18] 过度自信对雇员工资契约选择影响的实验研究[J].管理科学,2010.
[19] 企业和行业特征对湖南企业生存年限影响的实证研究[J].系统工程理论与实践,2010.
[20] 非对称过度自信条件下委托代理模型[J].系统工程理论与实践,2009.
[21] 金融发展、资本深化与新型工业化道路[J].金融研究,2008.
[22] 基于激励机制的美式股票期权相对多指数化模型设计[J].系统工程理论与实践,2007.
[23] 两部制电价下电力市场系统动力学仿真[J].系统管理学报,2007.
[24] 我国电力传输企业服务质量激励性规制——基于价格上限规制的修正模型[J].中国管理科学,2007.
[25] 环境规制政策对企业投资行为的影响[J]. 中国管理科学,2006.
[26] 企业进入与行业利润率——对中国钢铁产业的实证研究[J].中国工业经济,2006.
[27] 全球化反应能力:企业国际化战略制胜的瓶颈[J].科学管理研究,2006.
[28] 解雇威胁条件下经营者风险分担与激励设计[J].中国管理科学,2005.

㈤ 请教一下，多重分形维数和单一分形维数有什么区别呢

表达了有一些看上去不规则的事物实际上可以用内在的规律表征，这个表征就是分形（fractal），表征的程度就是分形维数（fractal
dimension），分形更是一种认知自然世界的世界观、方法论，你需要去看书，多看相关的东西，才能有深刻的了解，我只是编制过分形维数计算程序，有一些了解，好久都没看了，加油好好学。。。

㈥ 多重分形分析用什么软件可以做出来

一般都是自己做的，RS analysis和detrended fluctuation analysis这两种，网上能找到matlab代码。

㈦ 先对序列依次进行MF-DFA一元多重分形度计算，再根据MF-X-DFA测算序列多重分形度间相关性的思路研究”翻译

先根据mf，在加43，再问老师

㈧ 分形理论简述

分形几何（Fractal Geometry）的概念是由曼德布罗特（B.B.Mandelbrot.1975）在1975年首先提出的.几十年来，它已经发展成为一门新型的数学分支.这是一个研究和处理自然与工程中不规则图形的强有力的理论工具，它的应用几乎涉及自然科学的各个领域，甚至于社会科学，并且实际上正起着把现代科学各个领域连接起来的作用，分形是从新的角度解释了事物发展的本质.

分形（fractal）一词最早由B.B.Mandelbrot于1975年从拉丁文fractus创造出来，《自然界中的分形几何》（Mandelbrot，1982）为其经典之作.最先它所描述的是具有严格自相似结构的几何形体，物体的形状与标度无关，子体的数目N（r）与线性尺度（标度r）之间存在幂函数关系，即N（r）∝1/r^D.分形的核心是标度不变性（或自相似性），即在任何标度下物体的性质（如形状，结构等）不变.数学上的分形实际是一种具有无穷嵌套结构的极限图形，分形的突出特点就是不存在特征尺度，描述分形的特征量是分形维数D.不过，现实的分形只是在一定的标度范围内呈现出自相似或自仿射的特性，这一标度范围也就称为（现实）分形的无标度区，在无标度区内，幂函数关系始终成立.

分形理论认为，分形内部任何一个相对独立的部分，在一定程度上都是整体的再现和相对缩影（分形元），人们可以通过认识部分来认识整体.但是分形元只是构成整体的单位，与整体相似，并不简单地等同于整体，整体的复杂性远远大于分形元.更为重要的是，分形理论指出了分形元构成整体所遵循的原理和规律，是对系统论的一个重要的贡献.

从分析事物的角度来看，分形论和系统论体现了从两个极端出发达到对事物全面认识的思路.系统论从整体出发来确立各部分的系统性质，从宏观到微观考察整体与部分的相关性；而分形论则是从部分出发确立整体性质，沿着从微观到宏观的方向展开.系统论强调部分对整体的依赖性，而分形论则强调整体对部分的依赖性，两者的互补，揭示了系统多层次面、多视角、多方位的联系方式，丰富和深化了局部与整体之间的辩证关系.

分形论的提出，对科学认识论与方法论具有广泛而深远的意义.第一，它揭示了整体与部分之间的内在联系，找到了从部分过渡到整体的媒介与桥梁，说明了部分与整体之间的信息“同构”.第二，分形与混沌和现代非线性科学的普遍联系与交叉渗透，打破了学科间的条块分割局面，使各个领域的科学家团结在一起.第三，为描述非线性复杂系统提供了简洁有力的几何语言，使人们的系统思维方法由线性进展到非线性，并得以从局部中认识整体，从有限中认识无限，从非规则中认识规则，从混沌中认识有序.

分形理论与耗散结构理论、混沌理论是相互补充和紧密联系的，都是在非线性科学的研究中所取得的重要成果.耗散结构理论着眼于从热力学角度研究在开放系统和远离平衡条件下形成的自组织，为热力学第二定律的“退化论”和达尔文的“进化论”开辟了一条联系通道，把自然科学和社会科学置于统一的世界观和认识论中.混沌理论侧重于从动力学观点研究不可积系统轨道的不稳定性，有助于消除对于自然界的确定论和随机论两套对立描述体系之间的鸿沟，深化对于偶然性和必然性这些范畴的认识.分形理论则从几何角度，研究不可积系统几何图形的自相似性质，可能成为定量描述耗散结构和混沌吸引子这些复杂而无规则现象的有力工具，进一步推动非线性科学的发展.

分形理论是一门新兴的横断学科，它给自然科学、社会科学、工程技术、文学艺术等极广泛的学科领域提供了一般的科学方法和思考方式.就目前所知，它有很高程度的应用普遍性.这是因为，具有标度不变性的分形结构是现实世界普遍存在的一大类结构，该结构的含义十分丰富，它不仅指研究对象的空间几何形态，而是一般地指其拓扑维（几何维数）小于其测量维数的点集，如事件点的分布，能量点的分布，时间点的分布，过程点的分布，甚至是意识点、思维点的分布.

分形思想的基本点可以简单表述如下：分形研究的对象是具有自相似性的无序系统，其维数的变化是连续的.从分形研究的进展看，近年来，又提出若干新的概念，其中包括自仿射分形、自反演分形、递归分形、多重分形、胖分形等等.有些分形常不具有严格的自相似性，正如定义所表达的，局部以某种方式与整体相似.

分形理论的自相似性概念，最初是指形态或结构的相似性，即在形态或结构上具有相似性的几何对象称为分形，研究这种分形特性的几何称为分形几何学.随着研究工作的深入发展和领域的拓展，又由于一些新学科，如系统论、信息论、控制论、耗散结构理论和协同论等相继涌现的影响，自相似性概念得到充实与扩展，把信息、功能和时间上的自相似性也包含在自相似性概念之中.于是，把形态（结构）、或信息、或功能、或时间上具有自相似性的客体称为广义分形.广义分形及其生成元可以是几何实体，也可以是由信息或功能支撑的数理模型，分形体系可以在形态（结构）、信息和功能各个方面同时具有自相似性，也允许只在某一方面具有自相似性；分形体系中的自相似性可以是完全相似，这种情况是不多见的，也可以是统计意义上的相似，这种情况占大多数，相似性具有层次或级别上的差别.级别最低的为生成元，级别最高的为分形体系的整体.级别愈接近，相似程度越好，级别相差愈大，相似程度越差，当超过一定范围时，则相似性就不存在了.

分形具有以下几个基本性质：

（1）自相似性是指事物的局部（或部分）与整体在形态、结构、信息、功能和时间等方面具有统计意义上的相似性.

（2）适当放大或缩小分形对象的几何尺寸，整个结构并不改变，这种性质称为标度不变性.

（3）自然现象仅在一定的尺度范围内，一定的层次中才表现出统计自相似性，在这样的尺度之外，不再具有分形特征.换言之，在不同尺度范围或不同层次上具有不同的分形特征.

（4）在欧氏几何学中，维数只能是整数，但是在分形几何学中维数可以是整数或分数.

（5）自然界中分形是具有幂函数分布的随机现象，因而必须用统计的方法进行分析和处理.

目前分形的分类有以下几种：①确定性分形与随机分形；②比例分形与非比例分形；③均匀分形与非均匀分形；④理论分形与自然分形；⑤空间分形与分形事件（时间分形）.

分形研究应注意以下几个问题：

（1）统计性（随机性）.研究统计意义上的分形特征，由统计数据分析中找出稳态规律，才能最客观地描述自然纹理与粗糙度.从形成过程来看，分形是一个无穷随机过程的体现.如大不列颠海岸线的复杂度是由长期海浪冲击、侵蚀及风化形成的，其他许多动力过程、凝聚过程也都是无穷随机的，不可能由某个特征量来形成.因此，探讨分形与随机序列、信息熵之间的内在联系是非常必要的.

（2）全局性.分形是整体与局部比较而存在的，它包括多层嵌套及无穷的精细结构.研究一个平面（二维）或立体（三维）的粗糙度，要考虑全局范围各个方向的平稳性，即区别各向同性或各向异性分布规律.

（3）多标度性.一个物体的分形特性通常是在某些尺度下体现出来，在另一些尺度下则不是分形特性.理想的无标度区几乎不存在，只有从多标度中研究分形特性才较实际.

模型的建立，其实是分形（相似性）模型的建立.利用相似性原理，建立模型单元，对预测单元进行分形处理和预测.

分形的正问题是给出规律，通过迭代和递推过程产生分形，产生的几何对象显然具有某种相似性.反问题叫做分形重构.广义而言，它指任何一个几何上认为是分形的图形，能否找到产生它的规律，以某种方式来生成它.当我们研究非线性动力学时，混沌动力学会产生分形，而分形重构则是动力学系统研究的逆问题.由于存在“一因多果”、“多因一果”，由分维重构分形还需加入另外参数.

临界现象与分形有关.重整化群是研究临界现象的一种方法.该方法首先对小尺寸模型进行计算，然后被重整化至大的或更大的尺度.如果我们有网格状的一组元素，每个元素具有一定的渗透概率，重整化群方法的一个应用就是计算渗透的开始问题.当元素渗透率达到某一临界值时，这一组元素的渗透流动就会突然地发生.一旦流动开始后，相联结元素之间便具有分形结构.

自组织临界现象的概念可以用来分析地震活动性.按照这个概念，一个自然界的系统处在稳定态的边缘，一旦偏离这个状态，系统会自然地演化回到边缘稳定的状态.临界状态不存在天然的长度标度，因而是分形的.简单的细胞自动机模型可以说明这种自组织临界现象.

分形理论作为非线性科学的一个分支，是研究自然界空间结构复杂性的一门学科，可从复杂的看似无序的图案中，提取出确定性、规律性的参量.既可以反演分形结构的形成机制，又可以从看似随机的演化过程（时间序列）中推测体系演化的结果，近年来倍受地球科学家的注意.在地质统计学，孔隙介质、储层非均匀性及石油勘探开发，固相表面或两相界面，岩石破裂、断层及地震和地形、地貌学等地球科学各个领域得到了广泛的应用.

自20世纪80年代初以来，一些专家学者注意到了地质学中的自相似现象，并试图将分形理论运用于地学之中.以地质学中普遍存在的自相似性现象、地质体高度不规则性和分割性与层次性、地质学中重演现象的普遍性、分形几何学在其他学科中应用实例与地质学中的研究对象的相似性、地质学中存在一些幂函数关系等为内在基础，以地质学定量化的需要、非线性地质学的发展及线性地质学难以解决诸多难点、分形理论及现代测试和电算技术的发展为外在基础，使分形理论与地质学相结合成为可能，它的进一步发展将充实数学地质的研究内容并推动数学地质迈上一个新台阶.目前，分形理论应用于地球科学主要包括以下两个方面的研究：

（1）对“地质存在”——地质体或某些地质现象的分形结构分析，求取相应分形维数，寻找分维值与有关物理参量之间的联系，探讨分形结构形成的机理.这方面的研究相对较多，如人们已对断裂、断层和褶皱等地质构造（现象）进行了分形分析，探讨分维值与岩石力学性质等之间的关系；从大到海底（或大陆）地貌，小到纳米级的微晶表面证实了各类粗糙表面具有分形特征；计算了河流网络，断裂网络，地质多孔介质和粘性指进的分维值以及脉厚与品位或品位与储量等之间的分形关系.

（2）对“地质演化”——地质作用过程进行分形分析，求取分形维数并考察其变化趋势，从而预测演化的结果.例如，科学家们通过对强震前小震分布的分形研究表明，强震前普遍出现降维现象，从而为地震预报提供有力理论工具.当今的研究，不仅仅局限于分维数的计算，分形模型的建立；而更着重于解释地质学中引起自相似性特征的原因或成因，自相似体系的生成过程及模拟，以及用分形理论解决地质学中的疑难问题与实践问题，如地震和灾害地质的预报、石油预测、岩体力学类型划分、成矿规律与成矿预测等.地球化学数据在很大程度上反映了地质现象的结构特征.分维是描述分形结构的定量参数，它有可能揭示出地球化学元素空间分布的内在规律.

分维与地质异常有一定的关系.我们可以对不同地段以一定的地质内容为参量对比它们分维大小的差异，以此求得结构地段的位置及范围，从而确定地质异常；也可以对不同时期可恢复的历史地质结构格局分别求分维，还可以确定分维背景值.分形是自然界中普遍存在的一种规律性.

总之，分形理论已经渗透到地学领域的各个角落，应用范围涉及地球物理学、地球化学、石油地质学、构造地质学及灾害地质学等.