极坐标和股票

Ⅰ 高中数学 极坐标与参数方程

其实就是求线段MN的长度。
显然，当M、N重合时，|MN|=0，当MN与x轴平行时，|MN|max=2。
很直观，曲线C2是个圆，它的所有弦里最长的是直径。
所以，0≤|MN|≤2

Ⅱ 什么是极坐标，与直角坐标有什么区别

概念
在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。 第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线。书中创建之一，是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴(x轴)，其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，例如我们现在的极坐标系。牛顿还引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现，而瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还给出了从直角坐标到极坐标的变换公式。确切地讲，J.赫尔曼把 ,cos ,sin 当作变量来使用，而且用z，n和m来表示 ,cos 和 sin。欧拉扩充了极坐标的使用范围，而且明确地使用三角函数的记号；欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系。 有些几何轨迹问题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标法来得简单，描图也较方便。1694年，J.贝努利利用极坐标引进了双纽线，这曲线在18世纪起了相当大的作用。
极坐标系
在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。ρ=(x^2+y^2)^0.5 极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。
[编辑本段]历史
主条目：三角函数的历史
众所周知，希腊人最早使用了角度和弧度的概念。天文学家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。并且，曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。在螺线方面，阿基米德描述了他的著名的螺线，一个半径随角度变化的方程。希腊人作出了贡献，尽管最终并没有建立整个坐标系统。 关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统，流传着有多种观点。关于这一问题的较详尽历史，哈佛大学教授朱利安·卢瓦尔·科利奇的《极坐标系起源》[1][2]作了阐述。格雷瓜·德·圣-万桑特 和博纳文图拉·卡瓦列里，被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年，而卡瓦列里在1635进行了发表，而后又于年进行了更正。卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。布莱士·帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。 在1671年写成，1736年出版的《流数术和无穷级数》(en:Method of Fluxions)一书中，艾萨克·牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。在1691年出版的《博学通报》（Acta eruditorum）一书中雅各布·伯努利正式使用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标系对曲线的曲率半径进行了研究。 实际上应用“极坐标”en:Polar coordinate system这个术语的是由格雷古廖·丰塔纳开始的，并且被18世纪的意大利数学家所使用。该术语是由乔治·皮科克在1816年翻译拉克鲁瓦克斯的《微分学与积分学》（Differential and Integral Calculus）[3][4][5] 一书时，被翻译为英语的。 阿勒克西斯·谢罗特和莱昂哈德·欧拉被认为是将平面极坐标系扩展到三维空间的数学家。
在极坐标系中表示点
点(3,60°) 和 点(4,210°) 正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r(半径坐标)和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）。r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。[6] 比如，极坐标中的(3,60°)表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。(−3,240°) 和(3,60°)表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方(240° − 180° = 60°)。 极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点(r, θ)可以任意表示为(r, θ ± n×360°)或(−r, θ ± (2n + 1)180°)，这里n是任意整数。[7] 如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。
[编辑] 使用弧度单位
极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°.具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海(en:Navigation)方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。[8] [编辑] 在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换 极坐标系中的两个坐标 r 和 θ 可以由下面的公式转换为 直角坐标系下的坐标值 x = r*cos(θ), y = r*sin(θ), 由上述二公式，可得到从直角坐标系中x 和 y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标 r = \sqrt{x^2 + y^2} \, \theta = \arctan \frac\qquad x \ne 0 \, [9]在 x = 0的情况下：若 y 为正数 θ = 90° (π/2 radians); 若 y 为负, 则 θ = 270° (3π/2 radians).
[编辑] 极坐标方程
用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。 极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(−θ) = r(θ)，则曲线关于极点(0°/180°)对称，如果r(π+ θ) = r(θ)，则曲线关于极点(90°/270°)对称，如果r(θ−α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。[9]
[编辑] 圆
方程为r(θ) = 1的圆。 方程为r(θ) = 1的圆。 在极坐标系中，圆心在(r0, φ) 半径为 a 的圆的方程为 r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2 该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程 r(\theta)=a \, 表示一个以极点为中心半径为a的圆。[10]
直线
经过极点的射线由如下方程表示 \theta = \varphi \,, 其中φ为射线的倾斜角度，若 m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。 任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。[11] 这些在点(r0, φ)处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为 r(\theta) = \sec(\theta-\varphi) \,.
玫瑰线
一条方程为 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线. 一条方程为 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线. 极坐标的玫瑰线(polar rose)是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下： r(\theta) = a \cos k\theta \, OR r(\theta) = a \sin k\theta \, 如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘(disc)状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。
阿基米德螺线
方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线. 方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线. 阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示: r(\theta) = a+b\theta \,. 改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ > 0，另一条θ < 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转 90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。 圆锥曲线 圆锥曲线方程如下： r = {l\over (1 + e \cos \theta)} 其中l表示半径，e表示离心率。 如果e < 1，曲线为椭圆，如果e = 1，曲线为抛物线，如果e > 1，则表示双曲线。
其他曲线
由于坐标系统是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系(笛卡尔形式)简单得多。比如双纽线, 心脏线。
应用
行星运动的开普勒定律 开普勒第二定律 开普勒第二定律 另见：开普勒行星运动定律 极坐标提供了一个表达开普拉行星运行定律的自然数的方法。开普勒第一定律，认为环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆，这个椭圆的一个焦点在质心上。上面所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆。 开普勒第二定律，即等域定律，认为连接行星和它所环绕的恒星的线在等时间间隔所划出的区域是面积相等的，即d\mathbf\over dt是常量。这些等式可由牛顿运动定律推得。在开普勒行星运动定律中有相关运用极坐标的详细推导。

Ⅲ 极坐标与直角坐标的转化

极坐标转换为直角坐标

转化方法及其步骤：

第一步：把极坐标方程中的θ整理成cosθ和sinθ的形式

第二步：把cosθ化成x/ρ,把sinθ化成y/ρ；或者把ρcosθ化成x,把ρsinθ化成y

第三步：把ρ换成（根号下x2＋y2）；或将其平方变成ρ2,再变成x2＋y2

第四步：把所得方程整理成让人心里舒服的形式.

例：把 ρ＝2cosθ化成直角坐标方程.

将ρ＝2cosθ等号两边同时乘以ρ,得到：ρ2＝2ρcosθ

把ρ2用x2＋y2代替,把ρcosθ用x代替,得到：x2＋y2＝2x

再整理一步,即可得到所求方程为：

（x－1）^2＋y2＝1

这是一个圆,圆心在点（1,0）,半径为1

直角坐标转换为极坐标

第一：两个坐标原点重合.x轴相重合.

第二：长度单位相同.

第三：通常使用“弧度制”.

在此情况下,我们有设直角坐标系里的曲线上的一个任一点的坐标为A（x,y).则它在极坐标系里的坐标为A（ρ,θ）.

(3)极坐标和股票扩展阅读：

在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。通常情况下，M的极径坐标单位为1（长度单位），极角坐标单位为rad（或°）。

极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。

在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。

直角坐标系又叫笛卡尔坐标系，它通过一对数字坐标在平面中唯一地指定每个点，该坐标系是以相同的长度单位测量的两个固定的垂直有向线的点的有符号距离。每个参考线称为坐标轴或系统的轴，它们相遇的点通常是有序对（0,0）。坐标也可以定义为点到两个轴的垂直投影的位置，表示为距离原点的有符号距离。

为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。 过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线。

它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。这样就构成了一个笛卡尔坐标。

在三维笛卡尔坐标系中，三个平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，将三维空间分成了八个部分，称为卦限(octant) 空。第Ⅰ卦限的每一个点的三个坐标都是正值。

Ⅳ 极坐标和极点

因为极径ρ为零，
所以（0，θ）能表示极点，θ可以是任意角。

Ⅳ 极坐标与参数方程难吗

这个没法回答
只能说 难者不会，会者不难
可以说，你的数学好的，这个也不会难
原来不行的，这个也不行

Ⅵ 极坐标的定义和概念是什么

在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)。

设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线。书中创建之一，是引进新的坐标系。

(6)极坐标和股票扩展阅读

平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r ，等速螺线的极坐标方程为ρ=aθ 。此外，椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥曲线，可以用一个统一的极坐标方程表示。

对于平面上任意一点p，用ρ表示线段op的长度，称为点p的极径或矢径，从ox到op的角度θ属于[0，2π]，称为点p的极角或辐角，有序数对(ρ，θ)称为点p的极坐标。极点的极径为零，极角不定。除极点外，点和它的极坐标成一一对应。