期貨價格收益序列的多重分形

㈠ 多重分形模型

當今分形理論的主旋律是多重分形（Multi-fractals），因為簡單分形只用一個維數來描述其整體的特徵，不能完整地刻畫大自然的復雜性和多樣性.對於許多復雜的現象，它們包含多個層次，每個層次具有不同的統計特徵.比如，對湍流、混沌和分形生長類型的非均勻復雜幾何體，必須用多個維數來描述，才能全面刻畫其特徵.多重分形就是針對這類情況而提出的新概念.

多重分形也稱為分形測度.它是研究一種物理量在一個支撐（support）上的分布狀況，換句話說，多重分形理論是定義在分形上的多個標度指數的奇異測度所組成的無限集合.多重分形理論定量刻畫了分形測度在支撐上的分布狀況.

3.5.1 礦床分布模型

Mandelbort認為：「高品位的銅礦的分布是不均勻的，主要集中在世界少數地區.如果進一步考察其中一個地區銅礦的分布，就會發現其分布仍然是不均勻的，主要集中在少數幾個子區域之中.從統計意義來說，可以認為：在每一儲銅區，無論其區域大小，高品位的銅礦的相對分布都是相同的.」我們現在設想一個礦床分布模型（圖3.8）.為了討論方便，只限於一維的模型.假定有一單位長度的線性地區.第一步，將線性區分成三段，每段長1/3.兩端的兩段，礦產密度（聚集概率）是P₁，中間一段為P₂，且P₂＞P₁（2P₁+P₂=1），顯然，礦物向中間富集［見圖3.8（a）］.第二步，在0～1/3，1/3～2/3，2/3～1的三段地區再一次重復上述富集過程，9個子段的礦物濃度為，礦物的富集進一步集中在更少數地區[見圖3.8（b）].重復上述富集過程無窮次，富集作用完成，礦產分布形成.圖3.8（c）表示第三步（k=3）的結果，圖3.8（d）給出無窮步以後的情況.從上面的例子我們可以看出，最終形成的礦產是分形的，但十分復雜.為了完整地描述它，僅用單一一個分維數是不夠的，需要多個（甚至無窮多個）參量才能描述它.

從以上模型可以看出：①成礦作用具有相似性，無論哪個地段的成礦作用過程都是相似的，這就造成礦床及元素的空間分布服從分形關系；②成礦富集過程，即地質作用的多次迭加，類似於數學的多次迭加；③該模型可以用於解釋一個問題，「地質條件相似，勘查程度相等的地區，產出的礦床儲量多少相差極為懸殊」.

圖3-8 成礦模型示意圖

3.5.2 多重分形模型

我們把研究對象劃分為N個不同的區域S_i（i=1，2，…，N）.設r_i為第i個區域S_i線度大小，P_i為該區域S_i的測度（例如概率），不同的區域S_i，P_i也不同，可用不同的標度指數α_i來表徵.

分形混沌與礦產預測

若線度大小趨於零，則上式化為：

分形混沌與礦產預測

其中α_i是分形體某小區域的分維數，稱為局部分維或標定指數，一般因區域而異，其值大小反映了該區域生成概率的大小.

在α_i中，有相同α值的區域數目N_i（r）也與區域大小r_i有關，即：

分形混沌與礦產預測

其中f（α）表示α在總的分布中所佔的分量，它是α的連續函數，正是它構成了多重分形譜，即f（α）譜.f（α）的物理意義是具有相同α值的子集的分維數.一個復雜的分形體，它的內部可分為一系列不同α值（P_i值）所表示的子集.這樣f（α）就給出了這一系列子集的分形特徵.

可以證明，f（α）是α的凸函數，即f（α）曲線是一條凸曲線，其峰值f（α）=D₀，即相似維或容量維.f（α）=α處的值即是信息維數D₁.

多重分形用α表示分形體小區域的分維數，因為小區域數目很大，於是可得一個由不同α所組成的無窮序列構成的譜並用f（α）表示.f（α）和α是描述多重分形的一套參量.

我們從資訊理論角度也可以選另一套描述多重分形的參量q和D_q.當r→0時，我們可得：

分形混沌與礦產預測

其中稱為q次概率矩，D_q稱為q次廣義分維數（或q次信息維），q是表徵多重分形不均勻程度的量，C＞0稱為比例常數，τ（q）=（q-1）D_q是q的函數，∑P_i=1.（3.5.4）式稱為多重分形模型.通過Legender變換可得（具體論述見文獻陳禺頁，陳凌.分形幾何學，1998年，p.127）：

分形混沌與礦產預測

從上式可以看出，若有二個區域m和j的概率分別是P_m和P_j，且P_m≫P_j.當q≫1時，在∑求和中顯然是起主要作用，這時的I_q（r）和D_q主要反映的是概率高（或稠密的）區域的性質.在q→∞極限條件下，可以只考慮P_max而忽略其他的小概率，這樣就大大簡化了I_q（r）的計算.反之，當q≪1時，I_q（r）和D_q主要反映的是分布中概率比較小（或稀疏的）區域的性質.多重分形是一個由有限幾種或大量具有不同分形行為的子集合疊加而組成的非均勻分維分布的奇異集合，因此，多重分形概念是原始分形概念對於非均勻分形的自然推廣.利用多重分形這個概念，使我們能分層次地了解分形內部的精細結構.

將式（3.5.1）和（3.5.3）代入（3.5.4），可得：

分形混沌與礦產預測

由於r很小，則在求和時，I_q（r）僅當αq-f（α）取極小值時貢獻最大，由於α隨q不同而變化，故極小值條件為：

即，此式說明f（α）的斜率數值就是q階矩的階數.

即，此式說明f（α）是一個上凸曲線.

由上面二式可以求出當αq-f（α）取極小值時α的值α^*（q）來.這時I_q（r）可以寫成：

分形混沌與礦產預測

代入（3.5.4），可得：

分形混沌與礦產預測

式（3.5.9）表明，如果知道α和它的譜f（α），就可以求出D_q來.反之，如果知道了D_q，我們也可以求出α來.將式（3.5.9）對q求微商，可得：

分形混沌與礦產預測

上述關系式（3.5.1）～（3.5.10）構成了多重分形的理論核心，不論用α，f（α）或q，D_q作為獨立參數都可以描述多重分形內部結構，可根據實際情況決定用哪一組參數（表3-7）.

這兩套參量之間的關系為：D_q=（1/（1-q））［qα-f（α）］或f（α）=qα-τ（q）

其中

分形混沌與礦產預測

表3-7 τ（q），α（q），f（α（q）），D_q在q=0，1，±∞處的值

定理：q次廣義分維數D_q滿足下列不等式：

分形混沌與礦產預測

證明：由不等式（簡明數學手冊，上海教育出版社，1978）

分形混沌與礦產預測

上式等號成立當且僅當所有的α_i都相等.

分形混沌與礦產預測

即 D_q′≥D_q當q＞q′時

證畢

根據定理的結論，可推知：

D₀（相似維）≥D₁（信息維）≥D₂（關聯維）

注意：上面的定理成立是有條件的，即：∑P_i=1並且當r充分小時.但是在用線性回歸方法處理實際數據並計算出廣義分維數的D_q（即線性回歸方程的斜率），不一定都符合該不等式 D_q≤D_q′（當q＞q′時）.這是因為用統計上的線性回歸方法得出的結果是整體上的結果（取決於所有的數據），它與用取極限方法得出的結果是不一樣的（參見下面的模擬研究結果）.

3.5.3 多重分形模型模擬研究

我們在計算機上產生了［0，1］區間上的均勻分布，標准正態分布和對數正態分布的隨機數各10000個，將每種分布的隨機數分成10組（即每組1000個隨機數，共有30組），用於多重分形模型的模擬研究.

將每組1000個隨機數，按從小到大的次序排列，並把隨機數分布的總區間分成r個子區間，計算進入第i個子區間內的隨機數的頻率P_i（i=1，2，…，r），令，其中r為正整數.

這樣得到了數據（I_q（r₁），I_q（r₂），…，I_q（r_n））和（r₁，r₂，…，r_n），將這些數據代入（3.5.4）式中，然後兩邊取對數，即（3.5.4）式化為一元線性回歸模型，應用最小二乘法求出斜率的估計量，即q次廣義分維數.

具體計算結果見表3-8（圖3-9），表3-9（圖3-10）和表3-10（圖3-11）.

表3-8 均勻分布的

表3-9 正態分布的

表3-10 對數正態分布的

說明：（1）表3-8，表3-9和表3-10中的為相應分布的10組q次廣義分維數的平均值.

（2）對於均勻分布，正態分布和對數正態分布的隨機數，取n=26，r_i=3+2i（i=1，2，…，26）.主要依據數據（I_q（r₁），I_q（r₂），…，I_q（r_n））和（r₁，r₂，…，r_n）在此范圍內（q≥0），存在無標度區和統計上的要求.

（3）隨機數抽取樣本1000個，符合統計推斷的要求條件.

（4）當q→1時，廣義分維數就是信息維數D₁.

為了說明q次廣義分維數D^_q的意義，我們引入廣義熵K_q（r）（Renyi熵）（q=0，1，…）

分形混沌與礦產預測

圖3-9 均勻分布的擬合圖

熵是衡量隨機現象的不肯定性程度的一個度量.不肯定性程度（隨機現象的分布均勻程度）越高，熵值越大.根據（3.5.5）式和（3.5.11）式，我們可推知廣義分維數與廣義熵K_q成正比.廣義分維數可以表徵隨機數或樣本之間的結構性越大，表示隨機數或樣本均勻程度好；反之，值越小表示隨機數或樣本均勻程度差.由表3-8，表3-9和表3-10中數據可推知：均勻分布（均勻程度好）的隨機數廣義分維數＞正態分布（均勻程度居中）的隨機數廣義分維數＞對數正態分布（均勻程度差）的隨機數廣義分維數（q≥0）.以上結論與實際情況符合.廣義分維數是研究不均勻程度、復雜程度、粗糙程度和不規則程度的度量.

（註：此節的分維數大小比較與3.3.2節的結果不一致，這是因為它們的各自分維數所對應的模型不一致，從而導出的結論也不一致，因此，分維數大小的比較，一定要在相同模型和條件下進行，否則比較是無意義的.）

圖3-10 正態分布的擬合圖

圖3-11 對數正態分布的擬合圖

3.5.4 應用實例

某省地礦局物探大隊在某金礦田近400km²范圍內開展了1∶5萬水系沉積物地球化學元素測量，共得到Au和Ag數據各405個（共有810個）.

將上述金的數據以1km²為單元進行網格化，應用網格化數據繪制金地球化學異常圖3-14.該圖表明：①金異常在空間分布上與正長斑岩體具有一致性，這表明整個正長斑岩體可能是一個富金岩體.②圍繞正長斑岩體和閃長玢岩體發育環形金異常，正長斑岩體北側發育區域性線形金異常.③該金礦位於環形金異常與線形金異常的交匯域.環形與線形金異常的疊加表明該類金礦床的岩控，裂控的雙重控礦性質.④岩體內外金高濃度帶分布具有了一定的方向性，構成了一系列北西帶和北東帶.

通過因子分析確定了四類元素組合，其中一類組合為Au-Ag-Hg.Au-Ag-Hg正因子計量等值線（圖3-15）在岩體上形成兩個北東帶，在岩體北東側形成區域性北西帶，它代表了低溫金組合異常的分布.

（1）將原始數據進行標准化變換.

變換公式：

分形混沌與礦產預測

其中x_i（i=1，2，…，N）為原始數據（Au和Ag元素）.

分形混沌與礦產預測

變換後的數據的平均數為0，方差為1.且各元素數據的量綱一致，且兩元素數據在標准化變換前後的相關程度不變.

（2）將標准化變換後的各元素數據，按從小到大的次序排列，並把該元素數據分布的總區間分成r個子區間，計算進入第i個子區間內的隨機數的頻率P_i（i=1，2，…，r），令：

分形混沌與礦產預測

這樣得到了數據（I_q（r₁），I_q（r₂），…，I_q（r_n））和（r₁，r₂，…，r_n），然後將該數據繪在雙對數坐標系統中（即lnI_q（r）—lnr），連接各點，曲線存在明顯的直線段，即存在無標度區（q≥0）.

（3）將數據（I_q（r₁），I_q（r₂），…，I_q（r_n））和（r₁，r₂，…，r_n）代入（3.5.4）式中，然後兩邊取對數，應用最小二乘法求出斜率的估計量，即q次廣義分維數.

具體計算結果見表3-11（圖3-12）和表3-12（圖3-13）.

表3-11 Au數據的

表3-12 Ag數據的

圖3-12 Au數據的擬合圖

圖3-13 Ag數據的擬合圖

圖3-14 某金礦田Au地球化學異常圖

圖3-15 某金礦田水系沉積物地球化學因子計量（＞0）圖

由表3-11和表3-12中的數據可見：

（1）元素Au和Ag數據分布的均勻程度在正態分布和對數正態分布的均勻程度之間.

（2）元素Au和Ag的廣義分維數變化趨勢基本一致（q≥1），說明元素Au和Ag數據關系密切.以上結論與實際情況相符合.

㈡ 多重分形統計學特徵

多重分形理論是目前研究十分活躍的一門新興學科。如果說分形理論研究具有自相似性的不規則幾何問題的話，那麼多重分形將主要運用於定義幾何體上(包括分形幾何體)具有自相似或統計自相似性的某種度量或者場，比如岩石中微量元素的含量，某一區內測量的地球物理場，或者單位面積內的礦產地分布密度等。通過這種測量可將其所定義的幾何體(或二維面積)分成一系列空間鑲嵌的具不同特點的子幾何體(或子面積)，每種這樣的子幾何體(或子面積)會構成一種分形，而且具有其自身的分形維數。這種分形的總體將對應一種所謂分形維數譜函數。自然界中許多物理及化學過程會產生多維分形結果，比如在地球化學中具有廣泛應用前景的Mulplicative Cascade過程、Diffussion limited aggregatio(DLA)、Turbu-lence、Brownian過程等。這些過程的共同特點是其所產生的結果既具有確定性又具隨機性。通過多維分形的研究使數學、物理和化學中許多具有隨機和確定雙重性質以及奇異性的疑難問題得到了解答。這些成果必將對地質包括地球化學的各個領域產生重要影響。

地球化學元素分布規律的研究是揭示元素礦化富集及空間變化規律的重要途徑之一。地球化學數據的統計特徵常常用來描述和刻畫地球化學元素的分布規律。統計方法之所以能用於研究地球化學元素的分布規律不僅是由於地球化學取樣和對樣品進行的各種化學分析結果常具有不確定性，而且元素在地殼中的分布本身就具有不均勻性和區域隨機性。從具有隨機性的地球化學數據中了解元素分布規律是地球化學研究者所面臨的重要挑戰。統計方法在這方面起著不可替代的作用。然而人們早已注意到普通的統計方法並不考慮樣品的空間分布和統計特徵隨空間度量尺度的變化性。此外，由於一般的統計方法是建立在統計大數定量基礎之上的，因而這些統計方法(一、二階矩有關的統計方法)往往對度量元素的一般值效果較好。嚴格地說它們並不具備刻畫異常值的功能，分形理論則是研究這類復雜系統時空結構特徵的有效途徑，可以通過多重分形理論清楚地反映出統計方法的局限，而且能有效地克服統計方法的不足，它是一種研究具有自相似或統計自相似場的分布規律和描述場值的奇異性的有效方法，可以用於研究與礦化有關的微量元素在岩石、水系沉積物和土壤等介質中的空間分布和富集規律(陳春仔等，1998;成秋明，2000;謝淑雲等，2003;AgterbergFP等，1994;ParedesC等，1999)。與礦化有關的微量元素地球化學場具有多重分形結構特徵，微量元素的背景值往往服從正態或對數正態分布，然而高低異常值服從多重分形分布(ChengQ等，1994，1996，1999;成秋明，2004)。本次研究應用多重分形的面積校正累計頻率法，對銅陵天馬山礦區的18個微量元素進行了研究，初步探討了主成礦元素、伴生元素和非成礦元素的空間變化和礦化富集規律，為天馬山地區進一步找礦預測提供依據。

1.計算方法

地球化學采樣點往往不是網格化的，局部區域可能采樣較密或較稀甚或缺失。若直接應用原始樣品分析數據進行元素含量頻率分布研究，則可能過分強調采樣較密的局部區域而相對忽視采樣較稀的局部區域，不能真實地反映區域內元素含量值的分布特徵。濃度－面積法^［299］計算大於含量值c_i(i=1，2……n;n為含量值分組數c_min≤c_i≤c_max)的面積S(C≥c_i)，然後在雙對數坐標下考察c_i～S(C≥c_i)間是否存在冪率關系即分形。對於S(C≥c_i)，採用兩種途徑來確定:①在對原始數據加權移動平均(weightedmovingaveragemethod)插值後製作的地球化學等值線圖上，S(C≥c_i)為含量值C大於c_i的等值線圈閉的區域面積;②統計原始含量數值的盒子，即用邊長確定的正方形網格覆蓋研究區，S(C≥c_i)等於具有含量值大於c_i的正方形網格數。如果在正方形中不止一個樣品，則取平均值作為該網格的含量值。眾所周知，等值線的計算意味著網格結點的估值運算，運用移動平均、距離系數加權移動平均、克里格法和泛克里格法等網格估值方法可能產生不同的效果;局部特高值點(outlier)可能使鄰近網格點的估值普遍偏高，導致孤立高值點拉高一大片;內部的采樣空白區也可能以很不準確的估計值來代替。由此看來，方法①存在著固有的不足。本文採用方法②，即面積校正累計頻率法研究元素含量頻率分布，其計算步驟如下:

以一網格覆蓋采樣區域，記采樣空間坐標(x，y)的最小、最大值分別為x_min，x_max，y_min和y_max，則x和y方向的網格數n_x和n_y應滿足:

危機礦山深部隱伏礦大比例尺定位定量預測技術研究

式(8－5)表明x，y方向應具有相同的網格間距，式(8－6)說明總網格數乘以平均網格密度d應為總樣品數n。由式(8－5)、式(8－6)可解出n_x和n_y，從而確定所需的覆蓋網格。平均網格密度d值可取1～2，使得采樣較密區域的網格內有2個或2個以上樣品，采樣較稀區域的網格內有1個樣品，部分網格內沒有樣品，即為采樣空白區。過大的d值會產生數據的「平滑」。本研究由於采樣點為網格化的，採用d值為1.5。

斜交參考因子得分Y(i，1)正異常中心有3個，分別位於測區東部46線、50線和66線，顯示有一期Au、Hg、Sb、Pb、Ag、As組合元素的富集出現在距天鵝抱蛋山岩體較遠處，與岩體成因關系不明顯。

計算各個網格元素含量平均值C，並對C值進行累計頻率計算，即選定一組c={c_i}(i=1，2……n)為非空網格數c_min≤c_i≤c_max，統計所有網格平均值C大於c的網格數N(C＞c)，最後在雙對數坐標下繪制c－N(C＞c)曲線。因C值反映了采樣面積校正後的含量分布，稱其為面積校正累計頻率(area－calibratedaccumulative－frequency，ACAF)法，其結果與濃度－面積模型方法①只相差一個常系數，即單位網格的面積，不影響雙對數坐標下曲線的形態。可見，ACAF既消除了由於樣品點分布不均一的影響，又不會因孤立高值點導致其鄰近等值線畸變和難以剔除采樣空白區等，且演算法簡單。

c_i值按下式確定:

危機礦山深部隱伏礦大比例尺定位定量預測技術研究

式中:C_min為最小平均含量;C_max最大平均含量;δ為校正系數。n_s為計算累計頻率的分組數因元素不同而取值不一。使得c_i在對數坐標下為等距，否則容易導致數據點在低含量區過稀而在高含量區過密，影響對其分布模式的總體認識。

2.討論

1) 在圖8－15中，元素含量(c)與個數(N)的投影點呈現出連續的曲線分布趨勢，而不是單一的直線分布所表示的簡單分形，顯示出一種連續分布趨勢的多重分形特徵。

圖8－15 天馬山微量元素含量的ACAF曲線

2) 雙對數坐標下各元素含量的曲線有兩近似線性段。第一近似線性段大致反映了介於檢出限到測定下限之間或測定下限附近的低值波動;另一近似線性段跨越了主要的含量區間，反映了地球化學場的內稟分形特徵。參數b₁、b₂(表8－18)為這兩個近似線性段經最小二乘擬合的直線斜率的負值，即累計頻率分布的冪率。

表8－18 天馬山微量元素多重分維值

3) 元素含量頻率分布曲線上的兩近似線性段之間為連續過渡，並有截然的轉折點，且第一直線段只反映了介於檢出限到測定下限之間或測定下限附近的低值波動。

4) 在部分圖像中出現了星點狀尾現象，均為高值點，當星點狀尾位於擬合直線下端時，表明該元素在礦區有為局部礦化富集趨勢。

5) 分維數b定量地刻畫了元素含量在空間分布上的叢集程度和不均勻程度。根據有些學者利用分數的維數b表示元素的分布偏離正態分布的程度。多分維b數值反映了多次礦化事件的疊加，一個分數維b值代表了一次礦化(成礦階段或成礦期)，本區亦可分為多期成礦階段。從分形曲線的拐點也可以判斷礦區存在多期次成礦活動，因此多分形研究對確定不同成礦期次及同一成礦期次的不同成礦階段是有意義的，但對成礦期次的判別除據拐點分布情況外，還應據礦床地質的研究。

6) 與傳統統計方法中聚類分析所得到類別相比較，可以發現多重分形分類得到結果與聚類分析所得到結果有較強的一致性，兩者的分類幾乎完全一致，這也說明分維值的計算結果是合理可信的。元素中b₂值的大小變化可以解釋為:b₂值越小，即直線越平緩，元素的低含量點到高含量點的變化頻率下降的越慢，元素含量在空間上的叢集程度越高，就存在著較多的高含量點，有富集成礦的趨勢;b₂值越大，則高含量點分布較少，主要含量點集中在低含量區，也就不存在大規模富集成礦的可能。

㈢ 兩個序列，期貨價格（x）和股價（y），怎麼用eviews進行GARCH模型回歸該輸入什麼

股票上市後，形成了實際成交價格，這就是通常所說的股票價格，即股價。股價大半都和票面價格大有差別，一般所謂股票凈值是指已發行的股票所含的內在價值，從會計學觀點來看，股票凈值等於公司資產減去負債的剩餘盈餘，再除以該公司所發行的股票總數。五葷一般是指：大蒜、革蔥（即大蔥）、慈

㈣ 黃健柏的代表性研究成果

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[28] 解僱威脅條件下經營者風險分擔與激勵設計[J].中國管理科學,2005.

㈤ 請教一下，多重分形維數和單一分形維數有什麼區別呢

表達了有一些看上去不規則的事物實際上可以用內在的規律表徵，這個表徵就是分形（fractal），表徵的程度就是分形維數（fractal
dimension），分形更是一種認知自然世界的世界觀、方法論，你需要去看書，多看相關的東西，才能有深刻的了解，我只是編制過分形維數計算程序，有一些了解，好久都沒看了，加油好好學。。。

㈥ 多重分形分析用什麼軟體可以做出來

一般都是自己做的，RS analysis和detrended fluctuation analysis這兩種，網上能找到matlab代碼。

㈦ 先對序列依次進行MF-DFA一元多重分形度計算，再根據MF-X-DFA測算序列多重分形度間相關性的思路研究」翻譯

先根據mf，在加43，再問老師

㈧ 分形理論簡述

分形幾何（Fractal Geometry）的概念是由曼德布羅特（B.B.Mandelbrot.1975）在1975年首先提出的.幾十年來，它已經發展成為一門新型的數學分支.這是一個研究和處理自然與工程中不規則圖形的強有力的理論工具，它的應用幾乎涉及自然科學的各個領域，甚至於社會科學，並且實際上正起著把現代科學各個領域連接起來的作用，分形是從新的角度解釋了事物發展的本質.

分形（fractal）一詞最早由B.B.Mandelbrot於1975年從拉丁文fractus創造出來，《自然界中的分形幾何》（Mandelbrot，1982）為其經典之作.最先它所描述的是具有嚴格自相似結構的幾何形體，物體的形狀與標度無關，子體的數目N（r）與線性尺度（標度r）之間存在冪函數關系，即N（r）∝1/r^D.分形的核心是標度不變性（或自相似性），即在任何標度下物體的性質（如形狀，結構等）不變.數學上的分形實際是一種具有無窮嵌套結構的極限圖形，分形的突出特點就是不存在特徵尺度，描述分形的特徵量是分形維數D.不過，現實的分形只是在一定的標度范圍內呈現出自相似或自仿射的特性，這一標度范圍也就稱為（現實）分形的無標度區，在無標度區內，冪函數關系始終成立.

分形理論認為，分形內部任何一個相對獨立的部分，在一定程度上都是整體的再現和相對縮影（分形元），人們可以通過認識部分來認識整體.但是分形元只是構成整體的單位，與整體相似，並不簡單地等同於整體，整體的復雜性遠遠大於分形元.更為重要的是，分形理論指出了分形元構成整體所遵循的原理和規律，是對系統論的一個重要的貢獻.

從分析事物的角度來看，分形論和系統論體現了從兩個極端出發達到對事物全面認識的思路.系統論從整體出發來確立各部分的系統性質，從宏觀到微觀考察整體與部分的相關性；而分形論則是從部分出發確立整體性質，沿著從微觀到宏觀的方向展開.系統論強調部分對整體的依賴性，而分形論則強調整體對部分的依賴性，兩者的互補，揭示了系統多層次面、多視角、多方位的聯系方式，豐富和深化了局部與整體之間的辯證關系.

分形論的提出，對科學認識論與方法論具有廣泛而深遠的意義.第一，它揭示了整體與部分之間的內在聯系，找到了從部分過渡到整體的媒介與橋梁，說明了部分與整體之間的信息「同構」.第二，分形與混沌和現代非線性科學的普遍聯系與交叉滲透，打破了學科間的條塊分割局面，使各個領域的科學家團結在一起.第三，為描述非線性復雜系統提供了簡潔有力的幾何語言，使人們的系統思維方法由線性進展到非線性，並得以從局部中認識整體，從有限中認識無限，從非規則中認識規則，從混沌中認識有序.

分形理論與耗散結構理論、混沌理論是相互補充和緊密聯系的，都是在非線性科學的研究中所取得的重要成果.耗散結構理論著眼於從熱力學角度研究在開放系統和遠離平衡條件下形成的自組織，為熱力學第二定律的「退化論」和達爾文的「進化論」開辟了一條聯系通道，把自然科學和社會科學置於統一的世界觀和認識論中.混沌理論側重於從動力學觀點研究不可積系統軌道的不穩定性，有助於消除對於自然界的確定論和隨機論兩套對立描述體系之間的鴻溝，深化對於偶然性和必然性這些范疇的認識.分形理論則從幾何角度，研究不可積系統幾何圖形的自相似性質，可能成為定量描述耗散結構和混沌吸引子這些復雜而無規則現象的有力工具，進一步推動非線性科學的發展.

分形理論是一門新興的橫斷學科，它給自然科學、社會科學、工程技術、文學藝術等極廣泛的學科領域提供了一般的科學方法和思考方式.就目前所知，它有很高程度的應用普遍性.這是因為，具有標度不變性的分形結構是現實世界普遍存在的一大類結構，該結構的含義十分豐富，它不僅指研究對象的空間幾何形態，而是一般地指其拓撲維（幾何維數）小於其測量維數的點集，如事件點的分布，能量點的分布，時間點的分布，過程點的分布，甚至是意識點、思維點的分布.

分形思想的基本點可以簡單表述如下：分形研究的對象是具有自相似性的無序系統，其維數的變化是連續的.從分形研究的進展看，近年來，又提出若干新的概念，其中包括自仿射分形、自反演分形、遞歸分形、多重分形、胖分形等等.有些分形常不具有嚴格的自相似性，正如定義所表達的，局部以某種方式與整體相似.

分形理論的自相似性概念，最初是指形態或結構的相似性，即在形態或結構上具有相似性的幾何對象稱為分形，研究這種分形特性的幾何稱為分形幾何學.隨著研究工作的深入發展和領域的拓展，又由於一些新學科，如系統論、資訊理論、控制論、耗散結構理論和協同論等相繼涌現的影響，自相似性概念得到充實與擴展，把信息、功能和時間上的自相似性也包含在自相似性概念之中.於是，把形態（結構）、或信息、或功能、或時間上具有自相似性的客體稱為廣義分形.廣義分形及其生成元可以是幾何實體，也可以是由信息或功能支撐的數理模型，分形體系可以在形態（結構）、信息和功能各個方面同時具有自相似性，也允許只在某一方面具有自相似性；分形體系中的自相似性可以是完全相似，這種情況是不多見的，也可以是統計意義上的相似，這種情況佔大多數，相似性具有層次或級別上的差別.級別最低的為生成元，級別最高的為分形體系的整體.級別愈接近，相似程度越好，級別相差愈大，相似程度越差，當超過一定范圍時，則相似性就不存在了.

分形具有以下幾個基本性質：

（1）自相似性是指事物的局部（或部分）與整體在形態、結構、信息、功能和時間等方面具有統計意義上的相似性.

（2）適當放大或縮小分形對象的幾何尺寸，整個結構並不改變，這種性質稱為標度不變性.

（3）自然現象僅在一定的尺度范圍內，一定的層次中才表現出統計自相似性，在這樣的尺度之外，不再具有分形特徵.換言之，在不同尺度范圍或不同層次上具有不同的分形特徵.

（4）在歐氏幾何學中，維數只能是整數，但是在分形幾何學中維數可以是整數或分數.

（5）自然界中分形是具有冪函數分布的隨機現象，因而必須用統計的方法進行分析和處理.

目前分形的分類有以下幾種：①確定性分形與隨機分形；②比例分形與非比例分形；③均勻分形與非均勻分形；④理論分形與自然分形；⑤空間分形與分形事件（時間分形）.

分形研究應注意以下幾個問題：

（1）統計性（隨機性）.研究統計意義上的分形特徵，由統計數據分析中找出穩態規律，才能最客觀地描述自然紋理與粗糙度.從形成過程來看，分形是一個無窮隨機過程的體現.如大不列顛海岸線的復雜度是由長期海浪沖擊、侵蝕及風化形成的，其他許多動力過程、凝聚過程也都是無窮隨機的，不可能由某個特徵量來形成.因此，探討分形與隨機序列、信息熵之間的內在聯系是非常必要的.

（2）全局性.分形是整體與局部比較而存在的，它包括多層嵌套及無窮的精細結構.研究一個平面（二維）或立體（三維）的粗糙度，要考慮全局范圍各個方向的平穩性，即區別各向同性或各向異性分布規律.

（3）多標度性.一個物體的分形特性通常是在某些尺度下體現出來，在另一些尺度下則不是分形特性.理想的無標度區幾乎不存在，只有從多標度中研究分形特性才較實際.

模型的建立，其實是分形（相似性）模型的建立.利用相似性原理，建立模型單元，對預測單元進行分形處理和預測.

分形的正問題是給出規律，通過迭代和遞推過程產生分形，產生的幾何對象顯然具有某種相似性.反問題叫做分形重構.廣義而言，它指任何一個幾何上認為是分形的圖形，能否找到產生它的規律，以某種方式來生成它.當我們研究非線性動力學時，混沌動力學會產生分形，而分形重構則是動力學系統研究的逆問題.由於存在「一因多果」、「多因一果」，由分維重構分形還需加入另外參數.

臨界現象與分形有關.重整化群是研究臨界現象的一種方法.該方法首先對小尺寸模型進行計算，然後被重整化至大的或更大的尺度.如果我們有網格狀的一組元素，每個元素具有一定的滲透概率，重整化群方法的一個應用就是計算滲透的開始問題.當元素滲透率達到某一臨界值時，這一組元素的滲透流動就會突然地發生.一旦流動開始後，相聯結元素之間便具有分形結構.

自組織臨界現象的概念可以用來分析地震活動性.按照這個概念，一個自然界的系統處在穩定態的邊緣，一旦偏離這個狀態，系統會自然地演化回到邊緣穩定的狀態.臨界狀態不存在天然的長度標度，因而是分形的.簡單的細胞自動機模型可以說明這種自組織臨界現象.

分形理論作為非線性科學的一個分支，是研究自然界空間結構復雜性的一門學科，可從復雜的看似無序的圖案中，提取出確定性、規律性的參量.既可以反演分形結構的形成機制，又可以從看似隨機的演化過程（時間序列）中推測體系演化的結果，近年來倍受地球科學家的注意.在地質統計學，孔隙介質、儲層非均勻性及石油勘探開發，固相表面或兩相界面，岩石破裂、斷層及地震和地形、地貌學等地球科學各個領域得到了廣泛的應用.

自20世紀80年代初以來，一些專家學者注意到了地質學中的自相似現象，並試圖將分形理論運用於地學之中.以地質學中普遍存在的自相似性現象、地質體高度不規則性和分割性與層次性、地質學中重演現象的普遍性、分形幾何學在其他學科中應用實例與地質學中的研究對象的相似性、地質學中存在一些冪函數關系等為內在基礎，以地質學定量化的需要、非線性地質學的發展及線性地質學難以解決諸多難點、分形理論及現代測試和電算技術的發展為外在基礎，使分形理論與地質學相結合成為可能，它的進一步發展將充實數學地質的研究內容並推動數學地質邁上一個新台階.目前，分形理論應用於地球科學主要包括以下兩個方面的研究：

（1）對「地質存在」——地質體或某些地質現象的分形結構分析，求取相應分形維數，尋找分維值與有關物理參量之間的聯系，探討分形結構形成的機理.這方面的研究相對較多，如人們已對斷裂、斷層和褶皺等地質構造（現象）進行了分形分析，探討分維值與岩石力學性質等之間的關系；從大到海底（或大陸）地貌，小到納米級的微晶表面證實了各類粗糙表面具有分形特徵；計算了河流網路，斷裂網路，地質多孔介質和粘性指進的分維值以及脈厚與品位或品位與儲量等之間的分形關系.

（2）對「地質演化」——地質作用過程進行分形分析，求取分形維數並考察其變化趨勢，從而預測演化的結果.例如，科學家們通過對強震前小震分布的分形研究表明，強震前普遍出現降維現象，從而為地震預報提供有力理論工具.當今的研究，不僅僅局限於分維數的計算，分形模型的建立；而更著重於解釋地質學中引起自相似性特徵的原因或成因，自相似體系的生成過程及模擬，以及用分形理論解決地質學中的疑難問題與實踐問題，如地震和災害地質的預報、石油預測、岩體力學類型劃分、成礦規律與成礦預測等.地球化學數據在很大程度上反映了地質現象的結構特徵.分維是描述分形結構的定量參數，它有可能揭示出地球化學元素空間分布的內在規律.

分維與地質異常有一定的關系.我們可以對不同地段以一定的地質內容為參量對比它們分維大小的差異，以此求得結構地段的位置及范圍，從而確定地質異常；也可以對不同時期可恢復的歷史地質結構格局分別求分維，還可以確定分維背景值.分形是自然界中普遍存在的一種規律性.

總之，分形理論已經滲透到地學領域的各個角落，應用范圍涉及地球物理學、地球化學、石油地質學、構造地質學及災害地質學等.