斐波那契擴展和黃金分割

A. 誰能從哲學的角度解答黃金分割的原理，能引用道家佛家名言典故再好不過。

洛書與黃金分割

裡面 很詳細的有介紹 不要告我你沒看過啊 ..............

洛書與黃金分割
徐文明*
（北京師范大學哲學社會學學院，北京，100875）
[摘 要]
本文從數學與哲學的角度對河圖、洛書與太極圖進行了新的解釋，揭示了洛書、太極圖與黃金分割的內在聯系，指出太極圖與河圖、洛書是以數學形式表示的宇宙結構圖。
[關鍵詞] 河圖，洛書，太極圖，黃金分割。

河圖、洛書與太極圖是中華文化的源頭和象徵，也是蘊含著無盡的奧秘而又非常簡易的一種圖式，為了揭示其內在的意義，多少代人付出了極為艱辛的努力，但迄今並未有一種圓滿的解釋。作者亦曾於此著力數載，終於十餘年前偶有所獲，然惟恐所悟偏淺，有違先哲微言大義，又以法不當機，故隱而不發。然思之再三，總覺事關重大，不可不言，故今不辭冒昧，略述淺見。
一、 神秘的起源
《系辭上》雲：「河出圖，洛出書，聖人則之」。《顧命傳》曰：「河圖，八卦；伏羲王天下，龍馬出河，遂則其文以畫八卦，謂之河圖。」是故河圖洛書帶有一定的神秘色彩，傳說伏羲之時龍馬出於河水（黃河），背負圖文，謂之河圖；禹時玄龜出於洛水，背負圖文，謂之洛書。《春秋緯》曰：「河以通乾，出天苞；洛以流坤，吐地符。河龍圖發，洛龜書感。河圖有九篇，洛書有六篇」，即述此事。因此，河圖洛書並非只是簡單的數字排列，也不是遠古時期中華先人的隨意創作，而是用最簡易的形式表示最深刻的事理的一種圖式，或者說是用數字表示的宇宙萬物的基本結構圖。
二、 數與形的意義
老子雲：「道生一，一生二，二生三，三生萬物。」西哲畢達戈拉斯亦曾揭示數的意義。表明中西先賢都早已認識到了數的意義及其與物（形）的關系。數是一種內在的規律和結構，是無形的內在結構，形是數的外在顯現。現代數學深刻地揭示了數與形的關系，利用計算機和現代技術可以做到數與形的相互轉換，分形幾何（Fractal）即揭示了這一規律。原來我們認為並無規律的山川景物事實上是一種數學結構的顯現，通過計算機也可以隨意完成數形轉換，將並不存在的景物在屏幕上創造出來。這表明任何事相（形）都是數的體現，任何數都可以外現為一定的形物、通過簡單的數的排列可以用最簡易和形式表現出最深刻、最復雜的宇宙萬物的基本結構和外形。我們的先人早就悟出了這一道理，故以河圖、洛書這種數的形式表示事物的結構，又以太極圖（形）表示事物的外形，以簡單的形式表達了復雜的內容。
三、 加法（減法）與乘法（除法）的意義
數代表事物的內在結構，而數之間的關系（加減乘除等）同樣也代表事物之間的相互關系。所謂相加，表示性質相同的事物在保持一定的距離和各自的自性的條件下相互協調的一種統一關系（性質相反即是減法）。所謂相乘，表示性質相同的兩種事物（或多種）距離過近，兩者的相互影響加劇，致使每一事物都不能再保持自己的自性而形成的一種錯綜復雜的交叉反應關系（性質相反即是除法）。今以圖形表示如下：

2＋3＝（1＋1）＋（1＋1＋1）＝（1＋1＋1＋1＋1）＝5

其中2與3之間保持了一定的距離，這一距離既不太遠（若太遠則二者不能構成統一的關系），又不太近，既能導致維持二者的統一，又不至於損害各自的自性。在5這一最終形成的統一體中，2與3既各自獨立，又相互聯系。

1 2
2×3＝（1＋1＋1）×2＝1×2＝2＝2＋2＋2＝6
1 2

若2與3距離過近，相互的影響力便超過了二者的自在力，其中大而鬆散的3便被分割為三個1，而每一個1又都受到2的同化，逐漸變成2，由於三個1之間是保持一定距離的相加關系，故三個3之間也是相加關系，而最終的結果則是6。在6之中已不存原來獨立的2與3，而形成了2為基數（質料數），3為序數（結構數）的特殊關系。
理解了乘法的意義，對於除法和乘方、開方的意義自然也清楚了。除法指兩種事物性質相反時形成的相互沖突而導致整體收縮（變小）的關系。如3÷2，指3之中每個1都變成了1／2。乘方和開方則是連續的乘法和除法，如 2的三次方，2之中每個1都變成2之後，新形成的2之中的每個1又再次受到同化而變成了2，結果為8。
加法代表事物在保持各自自性的前提下構成新的統一體的關系，其特點是事物之間既相互作用，又有一定的距離。乘法代表事物之間距離太近，相互作用力破壞了各自的自性，通過交錯的作用和相互影響而構成一個新的統一體的關系。這兩種情況在現實世界中都存在。而乘方和開方則代表了事物互相重復影響，以至無窮的一種極為復雜的相互關系，佛教中的華嚴無盡世界即是這一關系的體現。
四、洛書、太極圖中隱含的數學結構和黃金分割
《大戴禮記·明堂篇》載文王之廟「明堂」設有「九室」，其數制是「二九四，七五三，六一八」，此即洛書。後人更以「二、四為角，六、八為足，左三右七，戴九履一，五居中央」示之。由此洛書的結構是很確定的。

洛書又稱九宮圖，為一三階幻方，即每行數相加都是十五，但其實在的意義並不止此。將其中的偶數提取出來，即成如下圖式：

4
2
6
8

直觀此圖，似乎並無特色。但按右旋結構，即可發現2+6=8，6+8=14，8+4=12，4+2=6，為方便起見，捨去10位數，只留個位數，即可發現其右旋結構為一加法序列，2+6=8，6+8=4，8+4=2，4+2=6，這一序列是循環的，按其左旋結構，則2×2＝4，4×2＝8，8×2＝16，6×2＝12，亦捨去10位數，即可發現其左旋結構為一乘法序列，2×2＝4，4×2＝8，8×2＝6，6×2＝2，這一序列也是循環的。事實上，2，6，8，4這一序列是斐波那契數列2（1，3，4，7，11……）的個位數的循環序列，2，4，8，6這一序列是等比數列2（1，2，4，8，16……）的個位數的循環序列。再將此圖簡化，即是如下圖式：

2 1
4
3

4
對其略加調整，即是： 3 5
2

1
這一簡單圖式竟然包含著正旋為加法序列，反旋為乘法序列的奇妙結構，若不細思，實難發現。前又已述，加法表示事物之間距離較大的關系，乘法表示事物之間距離較小的關系，那麼能否把二者協調起來呢，能不能找到一個既有加法序列的特點，使事物保持各自的特性，又有乘法序列的特點，使事物保持足夠程度的相互聯系呢了？
先設定1為為始數，斐波那契數列的特點是在a,b,c數列中a+b=c，而乘法數列的規律是b2=ac，設a=1，則1+b=c，b2=c，由此得到一個一元二次方程，
即b2－b－1＝0，則b1= ，b2=— 這正是黃金分割的比率。因此，黃金分割分割數列 ，1，1+
……正好是同時符合加法序列與乘法序列兩種序列特點的黃金分割序列。
左旋序列即在傳統文化中頗有地位的「太極生兩儀，兩儀生四象，四象變八卦」的1，2，4，8……序列。右旋序列即為西方數學家斐波那契所發現的一種斐波那契數列，即1，3，4，7……。眾所周知，斐波那契數列的特點是其相鄰兩數的比率無限地趨向黃金分割，表現出一種不斷進化和選擇的精神。而乘法序列則是按照一個固定的比率無限地裂變，體現了穩定的遺傳牲。乘法序列還體現了一種平等原則，1分為2，2之中每個1都是完全一樣的，是平等的。而加法序列則體現了一種自性（或自由）原則，合二為一，一之中兩個數（c=a+b）是不均勻的，保持著各自的特點。但乘法序列中的平等是同一等級之間的相互平等，不同等級之間是不平等的，加法序列則沒有明顯的等級關系，前一等級中的大數又構成後一等級中的小數，級差不太顯著。黃金分割序列則是自由原則與平等原則，均勻與非均勻的同一，是圓滿而又完美的序列，它既代表了一分為二的裂變而生的簡單的單性生殖，又代表了合二為一的和合而生的復雜的雙性繁殖，是潛藏的美妙結構。
這一玄妙的結構是如何產生的呢，是出於偶然的數學游戲還是必然的宇宙結構，其實按照中國的傳統思想，這一結構是非常自然的。

乾陽 4

4

1
2
3
5
5
1
陰坤

少陰
3
2 少陽

設令由道生一，一即一點；由一生二，二即一條線；由二生三，這條線便有一個完全的中點；由三生四，則形成一個封閉的圓圈；由四到五，則構成一個圓滿的圓形物。

因此五表示一個完整的事物，猶如一個樹葉。到五數時便由無形無相的道化生為有形有相的事物，五即同物。五數最大而居中位，4為極數而居陽位，在上，1為最小的數而居陰位，在下，3為少陰居左，2為少陽居右，如此便形成這一結構。因此這一結構並非簡單的偶然得之的數學游戲，而是代表了宇宙萬物化生的必然規律。五質量最大而成為核心，如同原子核，4能量最大（陽）故居上位，在外，1能量最小（陰）故居下位，在內，3和2在1與4之間，這一結構是非常合理的。
這一結構事實上還是太極圖的數字表達形式，根據同性相斥、異性相吸的原則，2為少陽而趨向陰1，將陰1包圍起來，形成陽中有陰的陽魚；3為少陰而趨向陽4，將陽4包圍起來，形成陰中有陽的陰魚。1和4為陰與陽，乾坤定位，相互作用，不易輕動，3和2為少陰與少陽，相互作用力弱，故易於活動。再加上1與3、4與2之間的斥力，就形成一個右旋的太極圖。由此可知太極圖是原初的圖式，洛書事實上是由太極圖衍化而來的。
對於黃金分割的用途無須贅述，然而對其深層意義還須說明，黃金分割體現了均勻與非均勻、自由與平等的同一，我們所在的宇宙既不是完全均勻的，又不是完全非均勻的，而在均勻與非均勻之際的最佳點便是黃金分割點，它既是均勻的，又是非均勻的。黃金分割還體現了中道原則，佛教的中道，儒家的中庸，道家的中都是指黃金分割點。所謂中，不是簡單的平均的中點，因為如此就會導致絕對平均的偏見，又不是遠離平均的狀態，這樣就會走向另一個極端。黃金分割為中道、中庸提供了一個量化標准。使之更易於准確地把握和理解。
黃金分割還是陰與陽的比率。陰陽概念出現很早，較清楚地說明了事物內部兩個方同的關系。陰與陽不同於西哲所言的矛盾的兩個方面或沖突的雙方，其間也有量化的比值。陽的能量比陰大，故以陽為剛強，以隊為柔弱，但二者的差距也並非無限大，或雲陽數為九，陰數為六，其間的比率為3/2，正是黃金分割的近似值和整數值。陰陽關系體現了黃金分割，陰陽雙方既是均勻的，平等的，又是各有特色、非均勻的，二者的相互消長是圍繞黃金分割進行的。
太極圖、洛書作為宇宙萬物的基本結構圖式，體現了萬物化生的基本規律，對世間事物來說，既存在著代表自性原則與自由精神的加法規律，也存在著代表平等原則與融合精神的乘法規律，同時還存在著代表中道原則的黃金分割律。乘法規律體現了陰的一面，代表內向、穩定、平等、融合，加法規律體現了陽的一面，代表外向、變動、自由、獨存。這兩方面都是外在的，體現了事物的矛盾、沖突，構成事物的外相表層和現象，而黃金分割則是內在的，體現了事物的和諧、協同、構成事物的生命和內層本質。通過事物的不斷選擇和三種規律的共作用，使自然界的物質不斷發展，從低級到高級，最終形成生命和作為宇宙自我意識的人類。
五、河圖、洛書的內在聯系及意義
太極圖作為原初的圖式代表未得到完全發育的單片物，即只有完整的二維結構，缺乏完全的第三維的事物，猶如一個樹葉。洛書事實上是兩個太極圖的疊加，其中呈現出完全的加法、乘法和黃金分割序列。那麼河圖又代表了什麼呢？它是如何產生的呢？

單就河圖本身來看，從中很難發現有何奧妙。但把河圖、洛書比照研究，就可有所發現。河圖、洛書都是太極圖的展開，從五發展到十數。值得注意的是，河圖中有兩個黑五（陽一），一個白五（陰五），而洛書只有一個白五（陰五），沒有黑五（陽五），其他數則完全一樣。河圖中多了一個陽五，洛書中少了一個陽五、這正是問題的關鍵。
所謂「大衍之數五十」，是說用五十之數表示萬物衍生結構，河圖之數五十五，是多出一個陽五，洛書之數四十五，是少了一個陽五。本來原初之物有五十之數，中間有十數，一個陰五，一個陽五，外層分列有一二三四，六七八九之數，此時物物之間是平等的，屬於渾沌而無個性的階段。但當兩個各具五十之數的原物相遇時，其間發生了相互作用，其中一物中的陽五衍離出來，被另外一物吸附，這就打破了原初的均勻態，接受陽五的一物由於能量劇增，亦打破了其內部陰陽平衡的狀態，從而呈現出不斷衍生的變動的外向的走向，這就是河圖，呈陽性，失去陽五的一物由於能量劇減，其內部陰陽平衡的狀態也被打破，從而呈現出穩定的、收縮的、內向的特徵，這就是洛書，呈陰性。
得到陽五之物共有兩個陽五，故陰五居中央，兩個陽五列於上下兩邊。根據最低能量原理和均衡原則，兩個陽五各選取一個最小的數靠近自己，選取2者為大，列於上位，選取1者較小，列於下位，3，4分列兩邊左右，形成其內層結構。其外層與內層是緊密相連的，由於此物多了一個陽五，其能量是過剩的，故其自足自在、不內不外的原初均衡態被打破、變成不斷向外擴展、衍生的狀態，因此中間的陰五不斷向四方發展，1受其影響而成為6，2受其影響而成為7，3受其影響而成為8，4受其影響而成為9，這就構成其外層結構。
這一結構不是封閉的，中間的陰五由於受到兩邊陽五的驅動而不斷化生，成為從無形存在向有形萬物化生的關鍵，亦即老子所雲「道生一」之「一」。一生二，二為四，外層的6，7。8，9繼續受到由陰五化成的四個五的影響，又還原為1（11），2（12），3（13），4（14），這一結構是循環往復的。
河圖為陽，表萬物化生變動之態；洛書為陰，表萬物穩定均衡之相。這與《春秋緯》所雲「河以通乾，出天苞，洛以流坤，吐地符」是一致的。洛書為體，為內，河圖為用，為外，二者共同體現了宇宙萬物的結構和發展規律。

作者說明：
本文的核心思路完成於1990年，當時曾將這一發現告諸中國社會科學院研究生院的同學好友邱高興、程煉、徐向東等人，得到他們的肯定和鼓勵。文章寫就則是在1994年博士畢業之後。我曾將文章呈於學術界許多前輩，得到了方立天、許抗生、王樹人等先生的支持，方老師和許老師還為本文的發表出了不少力，這都是我銘記不忘的。或許真的是由於「法不當機」，雖然我一直為此篇的發表而努力，卻總是未能如願。其間吳國盛先生曾將其列入其主編的《自然哲學》第三輯，沒想到清樣出來了，出版社卻出了問題。
文章今天得以問世，我多年的心願終於得了，為此我非常感謝《社會科學研究》雜志社，特別是總編李翠賢先生和副總編、責任編輯趙建偉先生。對於前後對本文發表盡過心、出過力的方立天、許抗生、吳國盛、唐大潮等先生我也表示感謝。
由於本文涉及的問題比較復雜，也有前輩對此提出了不同意見。朱伯昆先生指出，應當把這一發現當成我自己的解釋，不要隨便往古人身上套（大意如此，此事已過十年，先生本人未必記得住原文，這次未敢以此小事再煩先生，若與原話有出入，責任由我來承擔）。朱先生的教誨對我很有觸動，我自己也有矛盾。若說必非出自古人，卻又是從古人之說中自然推出，惟恐有貪天之功為己有之譏；若謂全是出自古人，則有些說法確實古人未曾明示，又有妄以己意加諸古人之嫌。
對於對這篇文章提出不同意見的前輩和同友，我也表示感謝。需要說明的是，我不主張對傳統文化做神秘的解釋，也不認為河圖洛書包括了一切。本文也只是為重新解釋傳統文化提供了一個新的思路而已。希望更多的人對本文提出不同的意見，這樣有利於研究的深入和思想的澄清。

B. 黃金分割比例

其比值約為0.618

設一個數列，它的最前面兩個數是1、1，後面的每個數都是它前面的兩個數之和。回例如答：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····這個數列為「斐波那契數列」，這些數被稱為「斐波那契數」。

經計算發現相鄰兩個斐波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸逼近黃金分割比。由於斐波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，而黃金分割是無理數，所以只是不斷逼近黃金分割。

(2)斐波那契擴展和黃金分割擴展閱讀：

黃金分割比例是使矩形最具美感的比例，即矩形的寬與高之比為1：1.618。在報紙版面設計中，黃金分割比例是最重要的美學參考數據。對開報紙版面的寬與高之比為1：1.4;四開報紙為1：1.5，比較接近黃金分割比例，因此符合讀者的審美需求。

在版面內設計的新聞圖框，一般也以接近這一比例為佳，常用的圖框比例有3：5、5：8、8：13等。當然，這一比例的矩形不是唯一具有美感的形，再加上版面設計中各種因素的影響，不應該也不可能把每條新聞都編排成符合這一比例的矩形。

C. 黃金比例的演算法和黃金比是多少

黃金比例（以下簡稱「黃金比」）約為： 0.618:1

如果有一條線段的總長度為黃金比例的 分母加分子的單位長，若我們把他分割為兩半，長的為分母單位長度，短的為分子單位長度 則短線長度與長線長度的比值即為黃金比例。

設一個數列，它的最前面兩個數是1、1，後面的每個數都是它前面的兩個數之和。例如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····這個數列為「斐波那契數列」，這些數被稱為「斐波那契數」。經計算發現相鄰兩個斐波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸逼近黃金分割比。

(3)斐波那契擴展和黃金分割擴展閱讀：

畫家們發現，按0.618:1來設計的比例，畫出的畫最優美，在達·芬奇的作品《維特魯威人》、《蒙娜麗莎》、還有《最後的晚餐》中都運用了黃金分割。而現今的女性，腰身以下的長度平均只佔身高的0.58，因此古希臘的著名雕像斷臂維納斯及太陽神阿波羅都通過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618。

建築師們對數字0.618特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的聖母院，或者是近世紀的法國埃菲爾鐵塔，希臘雅典的巴特農神廟，都有黃金分割的足跡。

D. 如何在外匯交易中應用斐波那契回調線（黃金分割

黃金分割重要的點位無非是382，，618，，786，，886，，這幾個嘛，，
一般來說一段健康的行情，回調382，，618，是很正常的，，
您想想看，，618的位置，不就相當於打了四折嘛，，，以k線來說，就是讓你買在下面的三分之一，賣在上面的三分之一。。。這樣有更好的盈虧比。。
建議在加一個，黃金擴展，，行情回調382，，618之後，繼續之前的行情，到達高點後，要麼是突破前高，要麼是不破，突破就畫黃金擴展，看看目標到哪裡，建議是1.272，，1.414，，1.618，，到達1.618之後，建議減掉大部分倉位，，原因是，除非是一大段趨勢，否則，大幾率是要有回調的，甚至趨勢改變。。。反過來也一樣。。。

E. 黃金分割的推廣拓展

設一個數列，它的最前面兩個數是1、1，後面的每個數都是它前面的兩個數之和。例如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····這個數列為「斐波那契數列」，這些數被稱為「斐波那契數」。
經計算發現相鄰兩個斐波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸逼近黃金分割比。由於斐波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，而黃金分割是無理數，所以只是不斷逼近黃金分割。 所謂黃金三角形是一個等腰三角形，其底與腰的長度比為黃金比值，正是因為其腰與邊的比為(√5-1)/2而被稱為黃金三角形。黃金分割三角形是唯一一種可以用5個而不是4個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形的三角形。由五角形的頂角是36度可得出黃金分割的數值為2sin18度（即2*sin(π/10)）。
將一個正五邊形的所有對角線連接起來，在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關系都是符合黃金分割比的，所產生的五角星裡面的所有三角形都是黃金分割三角形。

F. fibonacci（斐波那契/菲波納奇）線是否就是黃金分割線

斐波納奇分為以下幾種：
斐波納奇回調線
斐波納奇時間區間
斐波納奇扇形線
斐波納奇弧線
斐波納奇擴展線

斐波納奇回調線又稱黃金分割線！

G. 什麼是外匯黃金分割、怎麼計算怎麼用

這個其實不難理解的。。。首先，要知道黃金比例，是38%和62%。
統計上顯示，回調行情往往在到達之前的主升或主跌段的黃金比例附近結束，並重新開始新一段的主升或主跌。
這就是所謂的回調位，MT4上選擇插入斐波那契後，連接之前高低點就會顯示黃金比例水平。
至於擴展位，就是根據回調段的幅度判斷之後的主升或主跌段的幅度。自己看一下就明白了。

H. 斐波那契數列是什麼在股市中怎麼應用

一、斐波那契數列指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。

二、應用：通常在個別股票中不是太准確，通常在指數上有用。當市場行情處於重要關鍵變盤時間區域時，這些數字可以確定具體的變盤時間。使用斐波那契數列時可以由市場中某個重要的階段變盤點向未來市場推算，到達時間時市場發生方向變化的概率較大。

(8)斐波那契擴展和黃金分割擴展閱讀

斐波那契數自然界應用

斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝幹上選一片葉子，記其為數0，然後依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那些葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。

葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序比。多數的葉序比呈現為斐波那契數的比。

I. 斐波那契擴展線的數值是那些一定要全！

參見黃金分割。